1.5.8. Классическая модель жидкости

Аксиома линейности, вернее, ее следствие (8), позволяют вычислить в модели (F1) div P и P : D:

div P = –Сp + С(ldiv v) + div (2mD)

(здесь мы воспользовались очевидным равенством div (j(x)I) = grad j, выполненным для любой гладкой функции j: R³ ® R) Для вычисления P : D введем девиатор тензора D формулой Dў = D – ¹/₃(div v)I и определим диссипативную функцию F формулой

F =  ж и l +  2 3 ц ш (div v)2 + 2mD ў: D

Тогда, учитывая, что trD = tr D* = div v, а также, что

Dў : D = tr й л ж и D –  1 2 (div v)I ц ш * °D щ ы  =trD*°D –  1 3 (div v)2,

имеем

P : D = tr (P*°D) = = tr ([( – p + ldiv v)I + 2mD]*°D) = = tr (– pD) + tr [l(div v)D] + tr (2mD*°D) = = –pdiv v + l(div v)2 + 2m·tr D*°D =

= –pdiv v + l(div v)2 +  2 3 m(div v)2 +

+ 2m·tr D*°D –  2 3 m(div v)2 =

= –pdiv v +  ж и l +  2 3 m ц ш (div v)2 + 2mD ў: D =

= –pdiv v + F.

Дифференцируя основное термодинамическое тождество по t и умножая результат на r, получаем

r dU dt  = rQ ds dt  – pr dV dt .

С помощью уравнения неразрывности pr[(dV)/(dt)] вычисляется так:

pr dV dt  = pr d(1/r) dt  = pr ж и – 1 r2 ц ш dr dt  =

= –p 1 r (–rdiv v) = pdiv v.

Поэтому

r dU dt  = rQ ds dt  – pdiv v.

Подставляя вычисленные выражения в модель (F1), получим следующую так называемую классическую модель жидкости:

(F2) м п п п н п п п о dr dt  + r div v = 0, r dv dt  = –Сp + С(ldiv v) + div(2mD) + rf, rQ ds dt  = div (kСQ) + F.

В этой модели U, l, m, k считаются заданными функциями независимых параметров состояния (r, s), а p, r, Q, s связаны соотношениями (5). Модель (F2) вместе с (5) составляют пять скалярных уравнений для пяти скалярных неизвестных (r, v, s).

Коэффициенты l = l(r, s) и m = m(r, s) называются первым и вторым коэффициентами вязкости.

Класическая модель все еще остается достаточно сложной как в математическом плане, так и плане применимости ее к описанию конкретных жидкостей. Последнее связано с необходимостью знать четыре функции состояния U, l, m, k. Эти функции могут быть получены только из эспериментальных или общетеоретических соображений, и их нахождение представляет собой отдельну весьма трудну задачу. Поэтому мы, продолжая двигаться по избранному пути, рассмотрим частные случаи этой модели, сужая класс описываемых ею жидкостей (находясь в классе аксиомы линейности).