1.5.9. Несжимаемая жидкость

Опыт показывает, что в довольно широком классе течений многих жидкостей даже большие изменения давления не приводит к существенному изменению плотности. Поэтому в таком классе плотность можно считать константой. Проследим за математическими следствиями предположения r = const.

Во-первых, среда сразу же становится в термодинамическом смысле однопараметрической. В качестве независимого параметра в этом случае обычно выбирается абсолютная температура Q. Далее, давление перестает быть термодинамическим параметром состояния, поскольку перестает участвовать в основном термодинамическом тождестве: r = const Ю V= 1/r = const Ю dV = 0, и слагаемое pdV исчезает из основного термодинамического тождества. Более того,основное термодинамическое тождество принимает вид

dU = Qds,

свидетельствующий о том, что приток тепла в среду идет только на увеличение ее внутренней энергии. Это, как мы увидим ниже, позволяет выделить уравнение притока тепла из модели и решать его независимо. Пока же мы исключим его из модели.

Далее, так как r = const, уравнение неразрывности принимает вид

div v = 0,

поэтому вязкость l перестает играть какую-либо роль в модели (она фигурирует только в уравнении сохранения импульса с множителем div v). Такимо бразом, остается только вязкость m. Удобно и принято вместо m вводить коэффициент кинематической вязкости n = m/r. В общем случае коэффициент кинематической вязкости может довольно сильно зависеть от температуры n = n(Q) (например, в магматических расплавах вязкость в зависимости от температуры может отличаться на несколько порядков). Однако в простейшей модели, рассматриваемой нами, мы будем считать, что n = const. Такое ограничение оставляет класс описываемых жидкостей достаточно широким.

Упростим уравнение сохранения импульса. Для этого достаточно заметить, что

div ж и ¶v ¶x ц ш * = С(div v),  а div ж и ¶v ¶x ц ш  = Dv

(здесь D — оператор Лапласа), и поэтому, в силу постоянства m,

div (2mD) = div й л 2m 1 2 ж и ¶v ¶x  +  ж и ¶v ¶x ц ш * ц ш щ ы  = mDv.

Уравнение неразрывности и уравнение сохранения инмульса (после деления его на r) составляют математическую модель вязкой несжимаемой жидкости:

(F3) м п н п о div v = 0, dv dt  = –  1 r Сp + nDv + f.

Эта система уравнений называется системой уравнений Навье — Стокса и представляет собой систему из четырех скалярных уравнений для четырех скалярных неизвестных v, p. Модель (F3) — одна из наиболее широко применяющихся моделей жидкости.

Вернемся к уравнению притока тепла. Тот факт, что приток тепла идет только на изменение внутренней энергии (dU = Qds), означает, что среда обладает свойством воспринимать тепловую энергию при неизменном объеме. Это свойство называется теплоемкостью и характеризуется величиной C_V = ¶U(Q, V)/¶Q. Функция C_V(Q) определяется экспериментально и известна для широкого спектра сред. Таким образом, dU = C_V dQ. Но тогда уравнение притока тепла можно записать в виде

rCV dQ dt = div (kСQ) + 2nr(Dў : D)

(здесь мы учли, что div v = 0). Или, после деления на rC_V,

dQ dt  =  1 rCV div (kСQ) + Fў,

где диссипативная функция Fў = (2n/C_V)Dў: D. Поэтому тепловые потоки в среде не влияют на движение среды и могут быть найдены уже после нахождения v, p.

Построенная модель Навье — Стокса обладает многими достоинствами, обуславливающими ее широкую распространенность. Одним из основных является тот факт, что в ней фигурируют только две константы (не функции!), нуждающиеся в экспериментальном нахождении: это плотность r и кинематическая вязкость n. Эти константы с большой степенью точности и надежности определяются экспериментально.

Последним из рассматриваемых нами упрощений моделей сплошной среды будет отказ от учета эффектов, вызванных наличием вязкости.