0.2.4. След матрицы и линейного отображения

На пространстве M^m определен линейный функционал tr (от английского trace (след); его также иногда обозначают Sp от немецкого Spur (след)), равный сумме диагональных элементов матрицы:

tr {Lji} =def Lii = ei·Lбeiс.

Этот функционал порождает функционал на L(R^m):

tr бLс = tr {Lji}.

Вышеприведенное определение зависит от базиса. На самом деле оказывается, след матрицы (и, соответственно, линейного отображения) не зависит от выбора базиса. Чтобы доказать это утверждение, заметим, во-первых, что для любых a, b О R^m

tr бaДbс = tr бaieiДbjejс = aibjtr бeiДejс = aibjdji = aibi = a·b.

(10)

Во-вторых, линейный функционал на L(R^m), обладающий свойством (10), обязательно есть след: если F: L(R^m) ® R таков, что F(aДb) = a·b, то

FбLс = FбLjieiДejс = Ljiei·ej = Ljidij = Lii.

Остается заметить, что свойство (10) не зависит от выбора базиса.