§ О30. Теория возмущений

Термин "теория возмущений" в теории обыкновенных дифференциальных уравнений используют в двух смыслах: широком — для обозначения теории, занимающейся общими вопросами зависимости решений от параметров, и в узком — для обозначения теории, посвященной исследованию возможностей разложения в ряды по степеням малого параметра. Последнюю обычно называют асимптотической теорией возмущений. Именно ей посвящен данный очерк.

Общая постановка задачи такова. Рассмотрим дифференциальное уравнение

xў = f(t, x, e)

(1)

с малым параметром e. Для простоты мы будем рассматривать только задачу Коши для этого уравнения:

x(0) = x0.

(2)

Пусть задача (1) (1) – (2)#150; (2) имеет при каждом e решение j(t, e). Предположим, что функция j(t, e) оказалась аналитической по e (например, в соответствии с теоремой Пуанкаре о разложении, j(t, e) аналитична, если функция f аналитически зависит от своих аргументов). Тогда ее можно представить в виде ряда

j0(t) + ej1(t) + e2j2(t) + ...,

(3)

а частичные суммы этого ряда аппроксимируют решение j(t, e) сколь угодно точно. В общем случае ряд (3) вовсе не обязательно оказывается сходящимся. Его частичную сумму

yk(t, e) = j0(t) + ej1(t) + ... + ekjk(t)

(4)

называют формальным асимптотическим решением задачи (1) – (2),

yўk(t, e) – f[t, yk(t, e), e] = O(ek+1)

(5)

и y_k(0, e) = x₀. Если же, дополнительно,

j(t, e) – yk(t, e) є rk+1(t, e) = O(ek+1),

(6)

то говорят, что функция y_k(t, e) является асимптотическим решением задачи (1) – (2) порядка k. Если y_k(t, e) является асимптотическим решением при любом k, то ряд (3) называют асимптотическим разложением, или асимптотикой решения j по малому параметру. Подчеркнем, что в общем случае не требуется, чтобы асимптотическое разложение сходилось к решению и поэтому невязка r_k(t, e) при фиксированном k, вообще говоря, не стремится к нулю при k ® Ґ. Утверждается только, что при каждом фиксированном k она стремится к нулю при e ® 0 как e^k+1.

Задача О30.1. Покажите, что решение задачи Коши

xў = –(eЦe)x,    x(0) = 1

не может быть представлено в виде сходящегося ряда (3).

Основная задача теории возмущений — это задача о возможности построения асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют члены j₁, j₂, ... асимптотик, оказываются, как правило, существенно проще исходных уравнений, а свойство (6) асимптотических разложений позволяет эффективно исследовать поведение решений при малых e, несмотря на то, что асимптотические ряды часто оказываются не сходящимися. В настоящее время асимптотические методы исследования решений дифференциальных уравнений успешно дополняются численными методами.

Вопрос о существовании асимптотических разложений в случае гладкой зависимости f от e решается легко. Например, из теоремы о липшицевости оператора сдвига вытекает, что если f удовлетворяет условию Липшица по x и e, то

j(t, e) = j0(t) + r1(t, e),

где j₀ — решение задачи (1) – (2) при e = 0, а r₁ удовлетворяет условию Липшица по e и, следовательно, в частности,

||r1(t, e)|| Ј Ce.

Таким образом, в этом случае j₀ является асимптотикой нулевого порядка решения задачи (1) – (2) (или еще говорят о главном члене асимптотики). Теорема 4.1.7 о дифференцировании оператора сдвига позволяет в случае если f имеет удовлетворяющие условию Липшица производные по совокупности переменных x и e построить асимптотику первого порядка:

y1(t, e) = j0(t) + ej1(t).

В ней j₀ та же самая, что и выше, а j₁ — решение соответствующего уравнения в вариациях.

Задача О30.2. Докажите, что ||j(t, e) – y₁(t, e)|| Ј Ce².

Точно так же теорема о существовании старших производных решения по параметру позволяет выписать и обосновать асимптотики старших порядков, т. е. выписать конечную сумму (4) ряда Тейлора и оценить остаточный член функции j_k(t) = ¶^kj(t, e)/¶e^k|_e=0 определяются из соответствующих уравнений в вариациях. Эти уравнения легко получаются с помощью следующей формальной процедуры. Формальный ряд (3) подставляют в уравнение (1) и начальное условие (2), формально разлагают правую часть уравнения (1) в ряд Тейлора по e в точке e = 0 и приравнивают в получившихся формальных рядах коэффициенты при одинаковых степенях e. Получается набор обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов j₁, j₂, ... ряда и набор соответствующих начальных условий.

Задача О30.3. Выпишите эти уравнения и начальные условия в случае задачи Коши xў = tx/(1+e), x(0) = 1.

Задача О30.4. Выпишите асимптотику первого порядка для следующей задачи Коши для уравнения Риккати с малым параметром

xў + a(t) + eb(t)x2 = c(t), x(0) = 0.

Ситуация существенно сложнее в случае так называемых сингулярно возмущенных уравнений (правильнее говорить сингулярно возмущенных задач). Эти термины охватывают различные классы уравнений с параметрами, в которых решения зависят от параметра не регулярным образом (см., напр., очерки Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной и Принцип усреднения). Простейшим примером такого уравнения является уравнение

exў = – x

с малым параметром e. Его общее решение Ce ^{– t/e} не аналитически (сингулярно) зависит от e в точке e = 0.

Ниже мы продемонстрируем лишь некоторые особенности асимптотик сингулярно возмущенных задач на примере задачи Коши

exў = –x – et,

(7)

x(0) = 1,

(8)

предполагая параметр e малым и положительным. Решение задачи (7) – (8) имеет вид

j(t, e) = 2 + e 1 + e ·e–t/e –  1 1 + e ·et.

(9)

Попытаемся представить решение (9) в виде ряда (3). Подставляя (3) в (7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях e, получаем

j0(t) = –et,    j1(t) = et,    j2(t) = –et,    j3(t) = et,

Таким образом, ряд (5) сходится к функции –e^t/(1+e), т. е. ко второму члену в решении (9), представляющему при e = 0 решение вырожденного уравнения (нулевого порядка). Отметим два тесно связанных между собой обстоятельства. Во-первых, получившаяся сумма не удовлетворяет начальному условию (8) (обратите внимание на то, что при нахождении функции j_k оно нам не потребовалось) и, во-вторых, в получившемся разложении не аппроксимируется первый член разложения (9), наличие которого вызвано "лишним" для вырожденного уравнения начальным условием (8) (см. очерк Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной). Отметим также, что первый член в решении вне малых окрестностей нуля, т. е. вне пограничного слоя, быстро — с экспоненциальной скоростью — затухает. Таким образом, полученный ряд аппроксимирует решение на отрезках вида [d, T] (d > 0).

Задача О30.5. Проверьте последнее утверждение.

Для того, чтобы построить равномерное на [0, T] асимптотическое разложение заметим, что "погранслойная" часть решения j(t, e) задачи (7) – (8) регулярным образом зависит от агрегата t/e, взятого как единое целое. Это наводит на мысль представить решение j(t, e) в виде F(t, t/e, e) и попытаться разложить в ряд по степеням e функцию F(t, t, e) (имея в виду в последующем, что t = t/e), например, в виде

F(t, t, e) = j0(t) + ej1(t) + e2j2(t) + ... + + p0(t) + ep1(t) + e2p2(t) + ... .

(10)

Подставляя, как и ранее, (10) в уравнение (7) и начальное условие (8) и приравнивая члены при одинаковых степенях e (разумеется, отдельно рассматривая функции, зависящие от независимого аргумента t и независимого в данном контексте аргумента t), получим следующее семейство уравнений

j0(t) = –et, pў0(t)=  –p0(t), j0(0) + p0(0) = 1, j1(t) = –jў0(t), pў1(t)=  –p1(t), j1(0) + p1(0) = 0, j2(t) = –jў1(t), pў2(t)=  –p2(t), j2(0) + p2(0) = 0, ... ... ...

Задача О30.6. Докажите, что j_k(t) = (–1)^k+1e^t (k = 0, 1, ...), p₀(t) = 2e^–t, p_k(t) = (–1)^ke^–t (k = 1, 2, ...).

Поэтому

j(t, e) = F ж и t, t e , e ц ш  =

= – et + eet – e2et + ... + 2et/e – ee–t/e + e2et/e – ... =

= – et(1 – e + e2 – ...) + e – t/e[2 – e(1 – e + e2 – ...)] =

=  2 + e 1 + e ·e – t/e –  1 1 + e ·et.

Таким образом, мы построили разложение вида (10) для решения задачи (7) – (9).

Задача О30.7. Докажите, что конечные суммы построенного разложения аппроксимируют решение задачи (7) – (8) с порядком O(e^k+1) равномерно на любом отрезке вида [0, T].

Члены p₀, p₁, ... построенной асимптотики называются погранслойными членами. Они характеризуются тем, что быстро (в данном случае с экспоненциальной скоростью) убывают вдали от начальной точки и не малы вблизи нее. Члены же j₀, j₁, ... называются регулярными членами асимптотики.

У читателя не должно складываться впечатления простоты асимптотической теории сингулярно возмущенных задач. Наоборот, в настоящее время эта теория в большой мере искусство и общие подходы и методы только начинают вырисовываться. Эффективность асимптотических методов в прикладных задачах вызывает большой интерес к ним и обуславливает обилие литературы.

Литературные указания. Несмотря на большую предысторию (асимптотические разложения начали получать во времена Ньютона), асимптотическая теория возмущений в учебниках излагается редко (см., напр., [Тихонов — Васильева — Свешников, Федорюк]). Различные аспекты современной теории описаны в монографиях [Боголюбов — Митропольский, Вазов, Васильева — Бутузов, Волосов — Моргунов, Ломов, Мищенко — Розов].

Задачи. О30.8. Найдите первые три члена асимптотики при e ® 0 решения задачи Коши для уравнения Дуффинга

xўў + l2x = ex3,   x(0) = x0, xў(0) = x1,

предполагая, что l отлично от нуля.

О30.9. Найдите первые два члена асимптотики при e ® 0 решения задачи Коши для уравнения Ван дер Поля

xўў – e й л xў – 1 3 (xў)3 щ ы + x = 0,   x(0) = x0, xў(0) = x1.

О30.10. Найдите первые три члена асимптотического разложения вида (3) для 2p-периодического решения уравнения

xўў + 2x = ex2 + sin t.

О30.11. Пусть в уравнении

xўў + l2x = ef(t, x, xў) + j(t)

(11)

функции f и j являются T-периодическим по t непрерывными функциями и, кроме того, f аналитична по второму и третьему аргументам, а l № Tk/2p (k = 0,1, ...). Формально подставляя разложение (3) в уравнение (11), выпишите уравнения для нахождения асимптотики T-периодического решения уравнения (11) (метод малого параметра Пуанкаре — Линдштедта).

О30.12. Предполагая возможным разложение в ряды Фурье всех возникающих в предыдущей задаче T-периодических функций, докажите разрешимость задачи о нахождении асимптотики T-периодического решения уравнения (11).

О30.13. Найдите первые члены асимптотики p-периодического решения уравнения

xўў + sin x = e·sin 2t.

О30.14. Пусть выполнены условия задач О30.11 и О30.12 и, кроме того, функция f не зависит от t, а j(t) є 0. Задача нахождения периодических решений уравнения (11) в этом случае существенно осложняется тем, что его период не известен заранее. В соответствии с методом малого параметра Пуанкаре — Линдштедта независимая переменная t заменяется новой независимой переменной t по формуле t = t(1 + el₁ + e²l₂ + ...) и в получившемся уравнении ищется (2p/l)-периодическое решение в виде ряда j₀(t) + ej₁(t) + e²j₂(t) + ... (период решения исходного уравнения, очевидно, будет равен T = (2p/l)(1 + el₁ + e²l₂ + ...)). Коэффициенты l_k определяются из условия отсутствия резонансных членов в разложениях в ряд Фурье правых частей уравнений для членов асимптотики j_j. Выпишите уравнения для l_k и j_k.

О30.15. Найдите первое приближение периодического решения уравнения Ван дер Поля.

О30.16. Попытайтесь выписать асимптотику вида (10) для краевой задачи

exўў + a0xў + a1x = 0,   x(0) = x0, x(1) = x1.

Исследуйте ее поведение при e ® 0.

О30.17. Найдите асимптотику вида (10) для задачи Коши

exў = a(t)x + b(t),  x(0) = x0.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 24 Mar 2000, 14:37.
Last modified 2 May 2002.