§ О29. Принцип усреднения

Принцип усреднения — один из мощнейших методов теории возмущений. Суть его заключается в замене правых частей дифференциальных уравнений, содержащих "колеблющиеся" члены, усредненными "автономными" функциями, не содержащими явно времени t. Более подробно. Пусть, например, исходный процесс, описываемый дифференциальным уравнением, подвержен малым порядка e возмущениям. Тогда в силу непрерывной зависимости решений от параметра в общем случае возмущения решений на фиксированном промежутке времени будут иметь тот же порядок малости, а именно e. Если нас интересует поведение решений на больших, растущих с убыванием e интервалах, то такого заключения уже сделать нельзя: к примеру на интервалах порядка 1/e возмущения решений будут уже, как правило, конечными. Принцип усреднения предлагает рецепт, позволяющий заменить сложные возмущающие члены в уравнении более простыми (автономными) и при этом учесть основной вклад в процесс, вносимый этими возмущениями на временах порядка 1/e.

Поясним сказанное на простейшем примере. Рассмотрим уравнение

xў = e(sin2t)x

(1)

как малое возмущение уравнения

xў = 0

(2)

(e — малый положительный параметр). Пусть j и y — решения уравнений (1) и (2), удовлетворяющие начальному условию

x(0) = 1.

(3)

Нетрудно видеть, что j и y близки при малых e на любом промежутке [0, T] и таковыми не являются на промежутке вида [0, T/e] (см. рис. 1). Точнее это сформулировано в следующих задачах.

Рис. 1.

Задача О29.1. max{|j(t) – y(t)|: t О [0, T]} ® 0 при e ® 0 для любого T > 0.

Задача О29.2. Для любого T > 0 найдется a > 0 такое, что max{|j(t) – y(t)|: t О [0, T/e]} > a при всех малых e.

Если же мы не будем отбрасывать возмущающий член e(sin²t)x, а заменим его более простым "усредненным", а именно, заменим коэффициент sin²t в (1) его средним значением:

a = lim t®Ґ 1 t т t 0 sin2s ds =  1 p т p 0 sin2s ds =  1 2 ,

то мы получим уравнение

xў = 1 2 x,

(4)

решения которого аппроксимируют решения уравнения (1) уже и на промежутках длины порядка 1/e. Точнее,

Задача О29.3. Пусть x — решение задачи (4), (3). Тогда max{|j(t) – y(t)|: t О [0, T/e]} ® 0 при любом T > 0.

Таким образом, уравнение (4) более точно, нежели уравнение (2), учитывает специфику уравнения (1). В (4) учтен "дрейф" фазовой точки под воздействием малого осциллирующего воздействия. Другими словами, принцип усреднения позволяет заменять сложное уравнение (здесь (1)) более простым автономным уравнением (здесь (4)) и при этом сохранять близость между решениями на большем по сравнению с простым отбрасыванием возмущающих членов промежутке.

Основным объектом изучения в теории принципа усреднения является уравнение вида

xў = ef(t, x)

(5)

в котором e — малый параметр, а f, как обычно, действует из R×Rⁿ в Rⁿ. (Мы будем предполагать, что оператор f удовлетворяет условиям теоремы Коши — Пикара и ограничен: |f(t, x)| Ј M < Ґ при всех (t, x)). Такие уравнения с пропорциональной малому параметру правой частью называются в теории метода усреднения уравнениями в стандартной форме. К уравнениям в стандартной форме приводятся многие уравнения с параметром. Один из важнейших источников таких уравнений — теория нелинейных колебаний. Например, рассмотрим уравнение линейного осциллятора, на который действует малая возмущающая нелинейная сила ef:

xўў + w2x = ef(x, xў),

или, что эквивалентно, систему уравнений

xў = y,    yў = –w2x + ef(x, xў).

(6)

Невозмущенное уравнение (e = 0), очевидно, имеет двупараметрическое семейство решений x(t) = acos(wt + j), y(t) = xў(t) (параметрами служат амплитуда a и фаза j). Метод переменной фазы и амплитуды заключается в том, что решение возмущенного уравнения (6) ищут в том же виде x(t) = acos(wt + j), y(t) = wasin(wt + j), предполагая, что a и j являются неизвестными функциями времени. Несложные преобразования показывают, что a и j удовлетворяют системе вида

aў = eA(a, j, t),

jў = eF(a, j, t)

с периодически зависящими от параметра t функциями A и F.

Задача О29.4. Докажите последнее утверждение.

Основным ограничением в теории принципа усреднения на уравнение (5) является требование наличия среднего значения f по t: при каждом x О Rⁿ должен существовать предел

f0(x) = lim t®Ґ 1 t т t 0 f(s,x) ds.

(7)

Наряду с уравнением (5) рассматривают так называемое усредненное уравнение

xў = ef0(x),

(5у)

являющееся, по сравнению с исходным, более простым — автономным. В классической механике принцип усреднения часто приводит даже к интегрируемым в квадратурах уравнениям.

Сингулярный характер зависимости уравнения (5) от параметра становится хорошо виден после замены переменных x = W(e)y, где W(e) представляет собой оператор растяжение функции вдоль оси t в 1/e раз: [W(e)y](t) = y(et). Уравнения (5) и (5у) переходят (докажите!), соответственно в уравнения

yў = f ж и t e , y ц ш ,

(8)

yў = f0(y).

(8у)

Будем рассматривать для уравнений (5), (5у) и (8), (8у) задачу Коши определяемую начальным условием

x(0) = x0

(9)

и, соответственно, — условием

y(0) = x0.

(10)

Задача О29.5. Покажите, что если j_e — решение задачи Коши (5), (9) на отрезке [0, T/e], то функция y_e = W(e^–1)j_e — решение задачи Коши (8), (10) на отрезке [0, T] и наоборот. Докажите аналогичное утверждение для задач (5у), (9) и (8у), (10).

Предположим усредненная задача Коши (8у), (10) имеет при e = 1 на отрезке [0, T] единственное решение x₁. (На самом деле требование существования и единственности решения x₁ в нашей ситуации излишне, т. к. f₀ одновременно с f удовлетворяет условию Липшица (докажите!)). Тогда, очевидно, задача Коши (5у), (10) имеет на отрезке [0, T/e] единственное решение x_e = W(e)x₁. Обозначим через j_e (единственное) решение задачи Коши (5), (9). Очевидно, функция y_e = W(e^–1)j_e — решение задачи (8), (10).

Задача О29.6. Покажите, что если max{|y_e(t) – x₁(t)|: t О [0, T]} ® 0, то max{|j_e(t) – x_e(t)|: t О [0, T/e]} ® 0.

Функция y_e, очевидно, удовлетворяет интегральному уравнению

y(t) = x0 + т t 0 f й л s e , y(s) щ ы ds,   t О [0, T],

(11)

а x₁ — интегральному уравнению

y(t) = x0 + т t 0 f0[y(s)] ds, t О [0, T],

(11у)

Интуитивно ясно, что интегралы в правых частях этих уравнений в каком-то смысле близки. Действительно, если во всяком случае, в (11) и (11у) y — функция-константа, то

lim e®0 т t 0 f ж и s e , y ц ш ds  = lim e®0 т t 0 f ж и s e , y ц ш d ж и s e ц ш =   lim e®0 t e t т t/e 0 f(r, y) dr =

= t · lim t®Ґ 1 t т t 0 f(r, y) dr = t · f0(y) = т t 0 f0(y) ds.

Оказывается равенство

lim e®0 т t 0 f й л s e , y(s) щ ы ds = т t 0 f0[y(s)] ds

(12)

справедливо и для любой непрерывной функции y. План доказательства этого утверждения изложен в следующих задачах.

Задача О29.7. Покажите, что

lim e®0 т t2 t1 f ж и s e , y ц ш ds= т t2 t1 f0(y) ds.

при любых t₂ і t₁ і 0 и y О Rⁿ.

Задача О29.8. Покажите, что (12) справедливо для любой ступенчатой функции.

Задача О29.9. Аппроксимируя функцию y ступенчатыми, докажите справедливость (12) для любой непрерывной функции y.

Более того, если {y_k} — равномерно на [0, T] сходящаяся к функции y₀ последовательность непрерывных функций и e_k ® 0, то

lim k®Ґ т t 0 f й л s ek , yk(s) щ ы ds = т t 0 f0[y0(s)] ds.

(13)

Задача О29.10. Докажите (13).

Центральный результат теории принципа усреднения —

Теорема Н.Н. Боголюбова.

max{|je(t) – xe(t)|: t О [0, T/e]} ® 0 при e ®0.

Схема ее  д о к а з а т е л ь с т в а  близка к схеме доказательства теоремы о непрерывной зависимости решений от параметра. В силу утверждения задачи О29.6 достаточно показать, что

max{|ye(t) – x1(t)|: t О [0, T]} ® 0 при e ® 0.

(14)

Хотя правая часть уравнения (8) не является непрерывной по параметру e в точке e = 0, интеграл от нее уже непрерывен по этому параметру: пределом при e ® 0 в этом "интегральном" смысле служит функция f₀ (такой характер зависимости от параметра называют иногда интегральной непрерывностью). Это и позволяет провести стандартные рассуждения. А именно, если (14) не выполнено, то для некоторых d > 0, последовательности e_k ® 0 и последовательности {t_k} М [0, T]

|yek(tk) – x0(tk)| > d.

(15)

Из уравнения (8) следует, что

|yeў(t)| Ј M,    |ye(t)| Ј |x0| + MT,    t О [0, T].

Последнее означает равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность множества {ye}, что позволяет без ограничения общности считать последовательность {yek} равномерно сходящейся к некоторой непрерывной функции y1 (для доказательства этого нужно воспользоваться теоремой Арцеля — Асколи). Переходя теперь с помощью (13) в равенстве

yek(t) = x0 + т t 0 f й л s ek , yek(s) щ ы ds,   t О [0, T]

к пределу при k ® Ґ, получим равенство

y1(t) = x0 + т t 0 f[y1(s)]ds,    t О [0, T]

означающее, что y₁ является решением задачи (8у), (10) при e = 1. Остается заметить, что y₁ № x₁ (в (14) последовательность {t_k} можно считать, не ограничивая общности, сходящейся к некоторому t₀ О [0, T] и тогда в пределе |y₁(t₀) – x₁(t₀)| > d), а это противоречит единственности решения задачи (8у), (10). Теорема доказана.

Метод усреднения оказывается эффективным и в задаче о периодических и почти периодических колебаниях. Если предполагать, например функцию f в уравнении (5) периодической по t: f(t + T, x) є f(t, x), то условие существования среднего значения f₀ выполняется автоматически:

f0(x) = 1 T т T 0 f(s, x) ds.

Задача О29.11. Докажите последнее равенство.

Оказывается в этом случае в окрестности асимптотически устойчивой особой точки усредненного уравнения существует периодическое решение неусредненного уравнения. Точнее, имеет место

Вторая теорема Н.Н. Боголюбова. Если x* — асимптотически устойчивая особая точка уравнения (5у), то при малых e > 0 уравнение (5) имеет асимптотически устойчивое T-периодическое решение j_e такое, что max{|j_e(t) – x*|: t О R} ® 0.

Ее доказательство выходит за рамки книги.

В заключение продемонстрируем возможности принципа усреднения в получении асимптотических разложений по малому параметру. Рассмотрим уравнение

xў = ef1(t, x) + e2f2(t, x) + ... + eN fN(t, x) + eN+1 fN+1(t, x).

(16)

Специальной заменой переменных вида

x = y + eq1(t, x) + ... + eN qN(t, x)

(17)

(она называется заменой Боголюбова — Крылова) уравнение (16) может быть приведено к виду

yў = eg1(y) + e2g2(y) + ... + eN gN(y) + eN+1 gN+1(t, y)

(18)

(и таким образом, вся "неавтономность" уравнения остается в самом младшем члене). При этом функции qi и gi выписываются в явном виде. Если теперь функция gN+1 имеет среднее значение g0N+1, то рассматривают (автономное) усредненное уравнение

yў = eg1(y) + e2g2(y) + ... + eNgN(y) + eN+1 g0N+1(y).

(19)

Пусть теперь j_e — решение задачи (16), (9). Асимптотическим приближением решения j_e называется полученная по формуле (17) функция x_e, в которой y — решение задачи (19), (10). Оказывается x_e является асимптотическим разложением решения j_e на отрезке [0, T/e] в том смысле, что

max{|je(t) – xe(t)|: t О [0, T/e]} = o(eN).

Литературные указания. Хотя идеи принципа усреднения восходят, по-видимому, еще к Ньютону, который исследуя движения маятника при наличии сопротивления, получил формулу для решения, совпадающую с формулой, получаемой методом усреднения, современные черты теория принципа усреднения приобрела в XX веке, в основном, в работах Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова [Крылов — Боголюбов, Крылов — Боголюбов]. Современное изложение теории можно найти в монографиях [Боголюбов — Митропольский, Волосов — Моргунов, Митропольский, Митропольский, Митропольский — Лыкова, Хейл].

Задачи. О29.12. Покажите, что уравнение

xў = Ax + ef(t, x),

в котором A — n×n-матрица, а f: R×Rⁿ ®Rⁿ заменой переменных x = e^Aty приводится к стандартной форме.

О29.13. Покажите, что уравнение с быстро колеблющейся правой частью

x(n) = f(wt, x, xў, ..., x(n – 1)),

где w — большой параметр, заменой переменных t = t/w, xў = x₁, ..., x^(n–1) = x_n–1 приводится к стандартной форме.

О29.14. Покажите, что система

xў = ef(t, x, y),    yў = w + eg(t,x, y)

заменой переменных x = x, y = h + wt приводится к стандартной форме.

О29.15. Методом усреднения найдите приближенное решение задачи Коши для системы уравнений

xў = e(a + bsin y),    yў = w + e(cos t)x.

О29.16. Методом переменной фазы и амплитуды приведите к стандартной форме уравнение Ван дер Поля

xўў – e(1 – x2)xў + x = 0

(e — малый положительный параметр). Постройте соответствующее усредненное уравнение. Найдите приближенное решение задачи Коши для уравнения Ван дер Поля.

О29.17. Покажите, что если d(e)/e ®0 при e ® 0, то

max{|j(t) – x(t)|: t О [0, T/d(e)]} ® Ґ при e ® 0,

где j и x — решения задач (1), (3) и (4), (3), соответственно. Таким образом, вообще говоря, близости решений неусредненного и усредненного уравнений на промежутках длины порядка большего, чем 1/e нет.

О29.18. В то же время, если j и x — решения задач Коши

м н о xў = –e(sin2t)x, x(0) = 1   и   м п н п о xў = –  e 2  x,   x(0) = 1,

то max{|j(t) – x(t)|: t О [0, Ґ)} ® 0 при e ® 0. Докажите! Причина отличия от предыдущей задачи заключается в экспоненциальной устойчивости решений усредненного уравнения.

О29.19. Докажите, что если f(t, x) является тригонометрическим полиномом:

f(t, x) = k е i = 1 [gi(x)cos lit + hi(x)sin lit],

то f имеет среднее значение. Найдите его.

О29.20. Докажите, что если f(t, x) представима в виде сходящегося равномерно по t при каждом фиксированном x ряда

f(t, x) = Ґ е i = 1 [gi(x)cos lit + hi(x)sin lit],

то f имеет среднее значение. Найдите его.

О29.21. Пусть скалярная непрерывная функция a имеет среднее значение a0 = limt®Ґ1/t т 0ta(s) ds. Докажите, что решения уравнений

xў = a ж и t e ц ш x  и  xў = a0x

имеют одинаковые характеристические показатели.

О29.22. Обобщите утверждение предыдущей задачи на системы линейных уравнений с периодической n×n-матрицей a.

О29.23. Пусть f, g: R×R ® R — удовлетворяющие условию Липшица ограниченные T-периодические по второму аргументу функции и

f0(x) = 1 T т T 0 f(s, x) ds, g0(x) = 1 T т T 0 g(s, x) ds.

Докажите, что решения задачи Коши, отвечающих одним и тем же начальным условиям, для систем

м н о xў = ef(x, y), yў = w + eg(x,   и   м н о xў = ef0(x), yў = w + eg(x)

близки при малых e на промежутках длины порядка 1/e.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 22 Mar 2000, 21:12.
Last modified 2 May 2002.