§ 4.1. Зависимость решений от начальных значений и параметров

При исследовании дифференциальных уравнений нередко встречается следующая ситуация: известно решение, отвечающее некоторому "особому" начальному значению x₀, а требуется приблизительно описать поведение решений с близкими к x₀ начальными значениями x₀. Для решения этой задачи полезны теоремы о непрерывности и дифференцируемости оператора сдвига, которые изучаются в данном параграфе.

4.1.1. Постановка задач. В этом параграфе изучаются следующие три задачи.

(а) Задача о зависимости решения от начального значения x₀. Рассматривается начальная задача

xў = f(t,x),

(НС)

x(t0) = x0

(НУ)

и исследуется зависимость ее решения j(t) = gt0t(x0)от x0 т. е. доказываются теоремы о липшицевости и дифференцируемости оператора сдвига.

(б) Задача о зависимости решения от параметра v. Рассматривается начальная задача

xў = f(t, x, v),    x(t0) = x0

(1)

(t₀, x₀ фиксированы). Если ввести дополнительную неизвестную функцию w с помощью уравнений

wў = 0,

(2)

w(t0) = v,

(3)

то (1) примет вид

xў = f(t, x, w),

(4)

Нетрудно видеть, что (2) – (4) есть задача о зависимости решения (x, w) от начального значения (x₀, v).

(в) Задача о зависимости решения от начального момента t0, т. е. о зависимости выражения gt0t(x0) от t0 при фиксированных x0 и t0. Если ввести новое время t = t – t0 и новую неизвестную функцию y(t) = x(t + t0), то получим:

dy dt = f(t + t0, y),

y(0) = x0.

Это есть задача о зависимости решения от параметра t₀, которая, как мы видели выше, сводится к задаче о зависимости от x₀.

Итак, из указанных трех задач основной мы можем считать первую, так как две другие сводятся к ней заменой переменных.

4.1.2. Лемма Гронуолла — Беллмана. Пусть на некотором промежутке J ' t₀ непрерывная функция y(t) і 0 удовлетворяет неравенству

y(t) Ј y0 + к к т t t0 M(s)y(s) ds к к ,

где y₀ і 0, а M: J ® R — непрерывная неотрицательная функция. Тогда

y(t) Ј y0·exp к к т t t0 M(s) ds к к    (t О J).

Эта лемма часто применяется при исследовании дифференциальных уравнений, в частности, при изучении вопросов о зависимости решений от начальных значений.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Введем обозначение

z(t) = y0 + к к т t t0 M(s)y(s) ds к к ,

тогда, очевидно, y(t) Ј z(t) (t О J). Поэтому достаточно доказать, что

z(t) Ј y0·exp к к т t t0 M(s) ds к к .

Очевидно, при t і t₀

z(t) = y0 + т t t0 M(s)y(s) ds

и

zў(t) = M(t)y(t) Ј M(t)z(t),

а при t < t₀

z(t) = y0 – т t t0 M(s)y(s) ds

и

zў(t) = –M(t)y(t) і –M(t)z(t).

Поэтому для некоторых неотрицательных непрерывных функций b₁(t), b₂(t)

zў(t) = M(t)z(t) – b1(t)   (t і t0),

zў(t) = –M(t)z(t) + b2(t)   (t < t0).

Следовательно, положив Ft0(t) = exp тt0tM(s) ds и воспользовавшись формулой оператора сдвига для линейного неоднородного уравнения (2), получаем:

z(t) = Ft0(t) ж и z(0) – т t t0 F –1 t0 (s)b1(s) ds ц ш Ј

Ј Ft0(t)z(0) = y0·exp к к т t t0 M(s) ds к к    (t і t0)

и

z(t) = F –1 t0 (t) ж и z(0) + т t t0 Ft0(s)b2(s) ds ц ш Ј

Ј Ft(t0)z(0) = y0·exp к к т t t0 M(s) ds к к    (t < t0)

4.1.3. Теорема о липшицевости оператора сдвига. Пусть для уравнения (НС) выполнены условия обобщенной теоремы Коши — Пикара, т. е.

f: J×Rn ® Rn,

f(t, x) непрерывно по t при фиксированных x,

|f(t, x) – f(t, y)| Ј M(t)|x – y|, M: J ® R непрерывна.

Тогда оператор сдвига по траекториям уравнения (НС) удовлетворяет обобщенному условию Липшица:

|gt0t(x0)– gt0t(x0)|Ј |x0 – x0|·exp к к т t t0 M(s) ds к к

(5)

и, в частности, gt0t непрерывен.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Положим j(t) = gt0t(x0), y(t) = gt0t(x0), тогда

jў(t) = f[t, j(t)],   j(t) = x0 + т t t0 f[s, j(s)] ds

и

yў(t) = f[t, y(t)],   y(t) = x0 + т t t0 f[s, y(s)] ds.

Поэтому

|j(t) – y(t)| Ј |x0 – x0| + к к т t t0 |f[s, j(s)] ds – f[s, y(s)| ds к к Ј

Ј |x0 – x0| + к к т t t0 M(s)|j(s) – y(s)| ds к к .

Воспользовавшись леммой Гронуолла — Беллмана, получим (5).

4.1.4. Линеаризованная система. По определению оператора сдвига

¶ ¶t gt0t(x0)= f[t, gt0t(x0)].

Предположим, что f(t, x) и gt0t(x0) являются достаточно гладкими по совокупности переменных t, t0, x0. Тогда

¶ ¶x0 ¶ ¶t gt0t(x0)= ¶f(t, x) ¶x к к к x = gt0t(x0) ¶ ¶x0 gt0t(x0).

(6)

Введем обозначения

A(t) = ¶f(t, x) ¶x к к к x = gt0t(x0) ,   Y(t) = ¶ ¶x0 gt0t(x0)= ~ g t0t(x0).

Далее, поменяем порядок дифференцирования в левой части (6); получится матричное уравнение

Yў = A(t)Y.

(МУ)

Заметим, что

Y(t0) = I,

(МНУ)

так как

¶ ¶x0 gt0t(x0) к к к t = t0 = ¶ ¶x0 gt0t0(x0)=  ¶x0 ¶x0  = I.

Итак, если оператор сдвига дифференцируем и правая часть f уравнения (НС) является достаточно гладкой, то производная ¶gt0t(x0)/¶x0 как матрица-функция от t является решением задачи Коши (МУ), (МНУ), т. е. оператором сдвига вдоль траекторий линейной системы

yў = A(t)y.

(ЛОС)

Последняя система по отношению к уравнению (НС) и фиксированному его решению j(t) = gt0t(x0) называется линеаризованной, или системой уравнений в вариациях.

4.1.5. Пример. Уравнение маятника с трением имеет вид

jўў + rjў + w2sin j = 0   (r > 0).

(7)

У него есть стационарные решения: j_в(t) є 0 и j_н(t) є p — нижнее и верхнее положения равновесия. В виде системы уравнение (7) записывается так:

jў = x, xў = –w2sin j – rx.

(8)

Стационарные решения принимают вид:

yн = ж з и jн(t) xн(t) ц ч ш =  ж з и 0 0 ц ч ш ,   yв = ж з и jв(t) xв(t) ц ч ш =  ж з и p 0 ц ч ш .

Произведем линеаризацию системы (8) вдоль этих решений. Имеем

y = ж з и j x ц ч ш ,   f(t, y) = f(y) = ж з и x –w2sin j – rx ц ч ш ,

¶f(t, y) ¶y = ж з и 0 1 –w2cos j  –r ц ч ш .

Поэтому

A(t) = ¶f(t, y) ¶y к к к y = yн = ж з и 0 1 –w2  –r ц ч ш ,

а

A(t) = ¶f(t, y) ¶y к к к y = yв = ж з и 0 1 w2  –r ц ч ш .

Итак, линеаризация в нижнем положении равновесия имеет вид

ж з и yў1 yў2 ц ч ш = ж з и 0 1 –w2  –r ц ч ш ж з и y1 y2 ц ч ш .

или, в "старых переменных"

yўў + ryў + w2y = 0,

а в верхнем —

ж з и yў1 yў2 ц ч ш = ж з и 0 1 w2  –r ц ч ш ж з и y1 y2 ц ч ш .

или

yўў + ryў – w2y = 0.

Если решение задачи (МУ), (МНУ) для A(t) = A_н(t) обозначить через Y_н, а для A(t) = A_в(t) — через Y_в, то получим следующие приближенные формулы, описывающие поведение маятника вблизи нижнего и верхнего положений равновесия:

y » yн + Yн (y(0) – yн)

и

y » yв + Yв (y(0) – yв).

Погрешность этих формул имеет порядок o(|y(0) – y_н|) и o(|y(0) – y_в|).

4.1.6. Пример линеаризации по параметру. Метод линеаризации, описанный в предыдущем пункте, можно применять и непосредственно к уравнению (7), причем для дифференцирования по любому параметру, а не только по x₀. Следует помнить только, что возможность дифференцирования и перестановки производных нуждается в обосновании. Для примера произведем линеаризацию уравнения (7) по параметру l = w² в точке l = 0. Напомним, что w² = g/l, где g — ускорение свободного падения, l — длина нити маятника. Поэтому значение l = 0 соответствует нулевой силе земного притяжения или бесконечной длине маятника. Для простоты выкладок будем также здесь считать, что r = 0. Итак j = j(t, l) и

¶2j ¶t2  + l·sin j = 0.

Пусть j(0, l) = j₀, jў(0, l) = 0. Тогда, очевидно, j(t, 0) є j₀. Далее, продифференцируем уравнение и начальные условия по l в точке l = 0:

й к л ¶  ¶l  ¶2j ¶t2 щ ъ ы l=0 + 1·sin j0 + й к л l·cos j0 ¶j ¶l щ ъ ы l=0 = 0,

й к л ¶j ¶l щ ъ ы l=0, t=0 = й к л ¶j(0, l) ¶l щ ъ ы l=0 = 0,

й к л ¶jў ¶l щ ъ ы l=0, t=0 = й к л ¶jў(0, l) ¶l щ ъ ы l=0 = 0,

Вводя обозначение

y = й к л ¶j ¶l щ ъ ы l=0

и предполагая допустимой перестановку производных, получаем

yўў = – sin j0,

y(0) = yў(0) = 0.

Эта задача легко решается:

y = – t2 2 sin j0.

Этим результатом можно воспользоваться для приближенного решения исходной задачи Коши при малых l:

j(t, l) » j(t, 0) + l й к л ¶j ¶l щ ъ ы l=0 = j0 – l t2 2 sin j0.

Такой способ исследования называют методом малого параметра. В данном случае в качестве малого параметра выступает l = w².

4.1.7. Теорема о дифференцировании оператора сдвига. Пусть f: J × Rⁿ ® Rⁿ непрерывна по первому аргументу при любом фиксированном значении второго и дифференцируема по второму аргументу, причем матрица-функция

B(t, x) = ¶f(t, x) ¶x

непрерывна по t и удовлетворяет обобщенному условию Липшица по x. Тогда оператор сдвига дифференцируем, его производная

¶gt0t(x0) ¶x0

удовлетворяет условию Липшица по x₀ и при любых фиксированных значениях t, t₀ и x₀ является матрицей оператора сдвига по траекториям линеаризованной системы:

yў = A(t)y

(A(t) = B(t, gt0t(x0)).

Д о к а з а т е л ь с т в о  этой теоремы опускается.

4.1.8. Контрольные вопросы

4.1.8.1. Покажите, что если функция f: J×Rn ® Rn непрерывно дифференцируема по совокупности переменных k раз, то gt0t(x0) непрерывно дифференцируем по t  k+1 раз.

4.1.8.2. Заменой переменных переведите параметр a из правой части уравнение в начальное значение: xў = ax + 1, x(0) = 0.

4.1.8.3. Заменой переменных переведите параметр a из начального момента в правую часть уравнения: xў = x + t, x(a + 1) = 0.

4.1.9. Задачи

4.1.9.1. Оцените разность |g01(0)– g01(0.001)|, где gt0t — оператор сдвига по траекториям уравнения xў = t + sin x.

4.1.9.2. Оцените разность ||j – y||_C[0,1], где j и y — решения уравнения xў = t² + e^–x, отвечающие начальным условиям x(0) = 0 и x(0) = 0.001, соответственно.

4.1.9.3. Пусть j и y ѕ решения уравнений xўў + sin x = 0 и xўў + x = 0 соответственно, удовлетворяющие начальным условиям x(0) = 0, xў(0) = 0.1. Оцените ||j - y||_C[0,2].

4.1.9.4. Пусть j(t, v) — решение задачи Коши

xў = x + v(t + x2),   x(0) = 1.

Найдите (¶/¶v)j(t, v)|_{t=1, v=0}.

4.1.9.5. Пусть j(t, v) — решение задачи Коши

xў = t + vx2,    x(0) = v – 1.

Найдите (¶/¶v)j(t, v)|_{t=2, v=1}.

4.1.9.6. Пусть (j(t, v), y(t, v)) — решение задачи Коши

xў1 = vx22,    xў2 = 1 + vx1,    x1(0) = 0,   x2(0) = 0.

Найдите (¶/¶v)j(t, v)|_{t=2, v=1} и (¶/¶v)y(t, v)|_{t=2, v=1}.

4.1.9.7. Пусть функция f: J×Rⁿ ® Rⁿ удовлетворяет условиям теоремы Коши — Пикара, а уравнение xў = f(t, x) имеет решения j₁ и j₂, удовлетворяющие неравенствам j₁(1) і j₁(0) і j₂(0) і j₂(1). Докажите, что это уравнение имеет решение j такое, что j(0) = j(1).

4.1.9.8. Пусть правая часть скалярного уравнения xўў = f(t, x, xў) непрерывна на R³ и удовлетворяет условию Липшица по x и xў. Докажите, что при достаточно малых T > 0 это уравнение имеет решение, удовлетворяющее условиям x(0) = x(T) = 0.

4.1.9.9. Вычислите (¶/¶x0)g0t(x0)|x0=0 для системы

xў1= x1(1 + x2),    xў2= x2(1 + x1).

4.1.9.10. Пусть g0t(x0, m) — оператор сдвига за время от нуля до t по траекториям уравнения Ван дер Поля

xўў + mxў(x2 – 1) + x = 0.

Найдите (¶/¶m)g0t(x0, m)|m=0, x0=0.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 19 Jan 2002, 14:53.
Last modified 18 Apr 2002.