2.1.9. "Подъем" в пространство F(W)

Пусть для каждого h определено некоторое отображение R_h из F(w_h) в F(W). Расстоянием ||u – u_h|| между u и u_h назовем число ||u – R_hu_h||₀.

Разумеется, это определение сильно зависит от отображений R_h. Эти отображения можно определять по-разному. Например, если F(W) — пространство непрерывных на W функций, снабженное C-нормой, то R_hu_h можно определить как кусочно-линейную интерполяцию функции u_h на множество W. На отрезке эта задача совсем проста (см. рис. 1.7, на котором светлыми точками изображена функция u_h, а жирной линией — функция R_hu_h при описанном способе определения отображений R_h).

Рис. 1.7.

В многомерном случае этот же способ можно реализовать, например, так. Триангулируем (разобьем на треугольники) область W с вершинами в w_h и на каждом треугольнике с вершинами в x₁, x₂, x₃ определим функцию R_hu_h как линейную по значениям u_h(x₁), u_h(x₂), u_h(x₂) в точках x₁, x₂, x₃ соответственно.