2.1.7. Нормы в пространстве функций непрерывного аргумента

В пространстве F(W) можно измерять расстояние (т. е. ввести норму) между функциями разными способами. Наиболее распространенные способы таковы.

C-норма:

||u||C = ||u||C(W) =  sup xОW |u(x)|,

C¹-норма:

||u||C1 = ||u||C1(W) =  sup xОW |u(x)| +  sup xОW |Сu(x)|,

L₂-норма:

||u||L2 = ||u||L2(W) =  ж и ттт W |u(x)|2 dw ц ш 1/2 ,

W12-норма:

||u||W12= ||u||W12(W)= ||u||C + ||Сu||L2.

Здесь мы не останавливаемся на деталях этих определений расстояний, в частности, совсем не затрагиваем важный вопрос о полноте пространства функций в этих нормах, т. е. следующий вопрос: из каких функций должно состоять пространство F(W), чтобы в нем выполнялся критерий Коши? Последнее означает эквивалентность для любой последовательности {u_n} М F(W) следующих двух высказываний:

" (e > 0) $ (N О N) " (n, m > N) [||un – um|| < e]

и

$ (u О F(W)) " (e > 0) $ (N О N) [||un – u|| < e].

Все эти вопросы будут подробно рассматриваться в курсе функционального анализа.