1.2.10. Теорема о симметричности тензора напряжений

Уравнение (14) выполнено в том и только том случае, когда тензор напряжений P симметичен: P = P*.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть выполнено уравнение (14), а {e_i} – произвольный ортонормальный базис. Используя определение дивергенции тензора, свойства дифференцирования композиции отображений и определение A, преобразуем левую часть равенства (14):

div (A(x)°P(x, t)) =

=  d ds (A(x + sei)°P(x + sei, t)бeiс) к к s = 0 =

=  ж и d ds A(x + see) к к s = 0 ц ш бP(x, t)бeiсс +

+ A(x) б ж и d ds P(x + sei) к к s = 0 ц ш  бeiс с  =

= A(ei)бP(x, t)бeiсс + A(x)бdiv P(x, t)с = = ei × Pбeiс + x × div P.

Поэтому, в силу (14) e_i × Pбeⁱс = 0. Последнее возможно только в случае симметричности тензора P. В самом деле,

0 = ei × Pбeiс = A(ei)бPбeiсс =

=  ж з з и 0 0 0 0 0 –1 0 1 0 ц ч ч ш ж з з и p11 p12 p13 ц ч ч ш  +  ж з з и 0 0 1 0 0 0 –1 1 0 ц ч ч ш ж з з и p21 p22 p23 ц ч ч ш  +

+  ж з з и 0 –1 0 1 0 0 0 0 0 ц ч ч ш ж з з и p31 p32 p33 ц ч ч ш  =  ж з з и p23 – p32 p31 – p13 p12 – p21 ц ч ч ш  = 0,

что означает симметричность P.

Поскольку все преобразования и рассуждения в приведенном выше доказательстве обратимы, обратное заключение также верно.

Таким образом, уравнение (14) и условие симметричности тензора напряжений эквивалентны. Поэтому в результирующую систему уравнений, которую мы выводим, обычно вставляют не уравнение (14), а требование симметричности тензора напряжений.

Наконец, обратимся к закону сохранения энергии (последнему уравнению в модели (IM)). Рассуждения здесь в большой мере аналогичны. Следующая теорема вводит "энергетический аналог" тензора напряжений — вектор потока тепла.