1.2.8. Закон сохранения импульса

Имеет место следующее уравнение импульса:

r dv dt  = div P + rf.

(12)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В силу основной теоремы

тт ¶st pn(x)(x, t) ds =  тт ¶st P(x, t)бn(x)с ds,

или, в сокращенной записи,

тт ¶st pn ds =  тт ¶st Pбnс ds,

В силу же теоремы Гаусса — Остроградского

тт ¶st Pбnс ds =  ттт wt div P dw.

Поэтому интегральный закон сохранения импульса может быть переписан в виде (см. формулу (6))

ттт wt й л r ж и dv dt  – f ц ш  – div P щ ы dw = 0.

Теперь уравнение импульса (12) следует из леммы 1.2.3.

Для вывода закона сохранения момента импульса введем для любого x О R³ линейное (антисимметричное) отображение A(x) из R³ в R³, позволяющее представить векторное произведение x × a в виде A(x)бaс. Как известно, его можно задать следующей матрицей в произвольном ортонормированном базисе {e_i}:

A(x) =  ж з з и  0 –x3 x2 x3  0 –x1 –x2 x1  0 ц ч ч ш ,   где x = xiei.