1.1.13. Интегральная модель сплошной среды

Теперь в уравнениях (3) – (6) определены все величины, и эти уравнения с описанными выше правыми частями составляют рассматриваемую нами (интегральную) математическую модель сплошной среды: для любого движущегося объема w_t в любой момент времени t

(IM)  м п п п п п п п н п п п п п п о d dt ттт wt  r dw = 0, d dt ттт wt  rv dw =  ттт wt  rf dw +  тт ¶wt  pn ds,  d dt ттт wt  r(x×v) dw =  ттт wt  r(x×f) dw +  тт ¶wt  (x×pn) ds,  d dt ттт wt r ж и 1 2 |v|2 + U ц ш dw =  ттт wt rvf dw +  тт ¶wt vpn ds +  тт ¶wt qn ds.

Эти уравнения называют (интегральными) законами сохранения соответственно массы, импульса (количества движения), момента импульса, (момента количества движения) и энергии.

Полученная математическая модель (IM) весьма сложна для исследования (в частности, в силу ее большой общности). Наша следующая задача — попытаться упростить модель (возможно, за счет сужения рамок ее применимости). Ниже мы покажем, что если величины, характеризующие сплошную среду, достаточно гладкие, то модель (IM) эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений в частных производных, которая допускает более полное исследование развитыми математическими средствами. Для того, чтобы привести нашу модель к системе дифференциальныз уравнений, нам потребуются некоторые новые математические понятия и факты, с описания которых и начинается следующий параграф.