2.3.3. Задача Неймана для уравнения Пуассона

Рассмотрим в квадрате W = [0, X₁] × [0, X₂] указанную в названии пункта задачу Неймана для уравнения Пуассона

Du = f(x),   x = (x1, x2) О W,

(6)

¶u ¶n  = g(x),   x О G.

(7)

В "операторном" виде она очевидно запишется в виде (3) — (4), (или, еще короче в виде (5)), если положить Lu = Du, а lu = ¶u/¶n|_G. Аппроксимируем оператор Лапласа центральными разностями:

Lh°uh = fh =def Lh f;

здесь и ниже мы используем сокращенное обозначение h = (h1, h2), поэтому, в частности, Lh° = Lh1°h2°.

Займемся теперь аппроксимацией краевых условий. На нижней стороне квадрата W (мы считаем, для определенности, что ось Ox₁ горизонтальна, а Ox₂ вертикальна) это условие, очевидно, имеет вид

¶u(x1,x2) ¶(–x2) к к x2 = 0 = – ¶u(x1,x2) ¶x2 к к x2 = 0  = g(x1, 0)

(напомним, что n — это нормаль к G, направленная вне W). Для того, чтобы при аппроксимации производной, стоящей в этом краевом условии, использовались только точки, лежащие внутри W, можно воспользоваться, например, разностями вперед:

– ¶u(x1,x2) ¶x2 к к x2 = 0  » –ux2+ = – u(x1, h2) – u(x1, 0) h2 .

Теперь вспомним, что разности вперед аппроксимируют с погрешностью O(h2), тогда как дифференциальный оператор у нас аппроксимирован с погрешностью O(h12+ h22). Интуитивно ясно, что бóльшая погрешность в аппроксимации краевого условия должна привести к (по крайней мере) такой же погрешности в приближенном решении. (Эти априорные рассуждения позднее будут строго обоснованы в курсе "Методы вычислений".) Поэтому хотелось бы аппроксимировать краевое условие с тем же порядком погрешности. Здесь нельзя воспользоваться центральными разностями для аппроксимации первой производной в краевом условии, поскольку для их вычисления потребовались бы значения функции u в точках из CW, т. е. лежащих вне W (см. шаблон на рис. 3.1а). Поэтому воспользуемся следующей аппроксимацией первой производной произвольной функции j

jў(x) »  – j(x + 2h) + 4j(x + h) – 3j(x) 2h

(см. шаблон на рис. 3.1б). Разложением в ряд Тейлора нетрудно показывается, что

к к jў(x) –  – j(x + 2h) + 4j(x + h) – 3j(x) 2h к к  Ј M3h2.

Рис. 3.1.

Поэтому на нижней стороне квадрата W краевое условие можно аппроксимировать, например, так

– –u(xi2) + 4u(xi1) – 3u(xi0) 2h  = g(xi0),   0 Ј i Јn.

(8)

На верхней границе квадрата для аппроксимации производной ¶u/¶n = ¶u(x₁, x₂)/¶x₂ по описанной схеме нужно взять разности, использующие значения в точках x_i(m–2), x_i(m–1) и x_im:

u(xi(m–2)) – 4u(xi(m–1)) – 3u(xim) 2h  = g(xim),   0 Ј i Јn.

(9)

Объединяя (8) и (9), также аналогичные краевые условия на правой и левой сторонах квадрата, запишем их в символической форме l_hu_h = g_h. Таким образом, краевая задача Неймана для уравнения Пуассона аппроксимируется следующей системой уравнений

Lhuh = fh, lhuh = gh,

которую в символической форме опять можно записать в виде

Lhuh = Fh.