1.2.5. Перестановка дифференцирования и интегрирования

В этом пункте мы покажем, что

d dt ттт wt F(x, t) dw =  ттт wt ж и dF dt  + Fdiv v ц ш dw

(3)

для любой функции F.

Формула (3) является многомерным аналогом формулы дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом.

В самом деле, сделаем в интеграле, стоящем в левой части равенства (3), замену переменных x = g(x, t). Эта замена переводит область w_t в область w₀, и, таким образом, область интегрирования перестает зависеть от времени t:

d dt ттт wt F(x, t) dw =  d dt ттт w0 FL(x, t)J L(x, t) dw,

где J — якобиан замены x ® x: J(x, t) = det(¶x/¶x). Поскольку теперь область интегрирования не зависит от t, дифференцирование можно внести под знак интеграла. Последующее дифференцирование подынтегрального выражения с использованием формулы Эйлера dJ/dt = J·div v или, что то же, ¶F^L/¶t = J ^Ldiv v^L, дает следующую цепочку равенств:

d dt ттт wt FLJ L dw =  ттт w0 ¶ ¶t (FLJ L)dw =

=  ттт w0 ж и ¶FL ¶t J L + FL ¶J L ¶t ц ш dw =

=  ттт w0 ж и ¶FL ¶t J L + FLJ Ldiv vL ц ш dw =

=  ттт w0 ж и ¶FL ¶t  + FLdiv vL ц ш J L dw.

Обратная замена переменных x ® x доказывает равенство (3):

ттт w0 ж и ¶FL ¶t  + FLdiv vL ц ш J L dw =  ттт wt ж и dF dt  + Fdiv v ц ш dw.