0.4.3. Производные по направлению и частные производные. Матрица Якоби

Пусть y О R^k и |y| = 1. Предел

lim s®+0 f(x + sy) – f(x) s  =  d ds f(x + sy) к к s=0

называется производной по направлению y поля f в точке x и обозначается ¶f(x)бyс/¶x или f_yў(x). Если зафиксировать в R^k и E базисы {p_i} и {q_i} и разложить f по базису {q_i}: f(x) = f ^j(x)q_j, то производные функций f ^j(x) по направлениям базисных векторов e_i называются частными производными функции f. Если x = xⁱp_i, то частная производная ¶f ^j(x)б p_iс/¶x обозначается обычно ¶f ^j(x)/¶xⁱ.

Линейному отображению ¶f/¶x соответствует некоторая матрица (за которой мы сохраним то же обозначение ¶f/¶x). Эта матрица называется матрицей Якоби. Элементами этой матрицы являются частные производные функции f:

ж и ¶f ¶x ц ш j i  =  df j(x + spi) ds к к s=0  =  ¶f j ¶xi  = (f j)ўxбpiс.

Из курса математического анализа известно, что поле f непрерывно дифференцируемо в том и только том случае, если частные производные (¶f/¶x)jiсуществуют и непрерывны.

Если E = R, то матрица Якоби градиента поля f (это матрица размерности m × 1) имеет вид

Сf =  ж и ¶f ¶x1 , ...,  ¶f ¶xk ц ш .