Лагранжев формализм и циклические колебания численности популяций

Гайденок Н.Д., Багаев Б.М., Чмаркова Г.М.
КрасГАСА, Красноярск

Аннотация:

Проблема циклических колебаний численности (биомассы) является одной из интереснейших в динамике популяций. В литературе, посвященной исследованию данного вопроса, предлагается широкий спектр моделей различного математического характера: от интегро - дифференциальных уравнений в частных производных до нелинейных отображений. Ниже будет показано на примере довольно агрегированной модели использование формализма Лагранжа для определения условий, обеспечивающих режимы колебаний.

Обратимся к модели, где рассматривается популяция, имеющую два и более возрастных класса, можно подразделить на два элемента: пополнение и запас, выделяемые на основе статуса половозрелости. Дискретной моделью, описывающей динамику численности популяции, имеющей состав ``пополнение (P) - запас (Z)'' может служить следующая система:

P $^{{\rm t}{\rm +} {\rm 1}}$ = (1-d$_{{\rm p}})$(1-V$_{{\rm p}})$P$^{{\rm t}}$ + f(Z$^{{\rm t}})$, (1)
Z $^{{\rm t}{\rm +} {\rm 1}}$ = (1-d$_{{\rm p}})$V$_{{\rm p}}$P$^{{\rm t}}$ + (1-d$_{{\rm z}})$Z$^{{\rm t}}$,
где - d$_{{\rm p}}$, d$_{{\rm z}}$, V$_{{\rm p}}$ -константы, представляющие смертности P и Z и скорость перехода из P в Z. Дифференциальной моделью, соответствующей (1), является
dP/dt = P = ((1-d$_{{\rm p}})$(1-V$_{{\rm p}})$-1)P+ f(Z) =
=((1-d$_{{\rm p}})$(1-V$_{{\rm p}})$-1)P+ nZK$^{{\rm N}}$/(K$^{{\rm N}}$+Z$^{{\rm N}})$, (2)
dZ/dt = Z = (1-d$_{{\rm p}})$V$_{{\rm p}}$P -d$_{{\rm z}}$Z.
где n - число потомков.

Для удобства выкладок перепишем (2) в виде

dP/dt = aP + f(Z); dZ/dt = bP + cZ, (3)
a = (1-d$_{{\rm p}})$(1-V$_{{\rm p}})$-1, b = (1-d$_{{\rm p}})$V$_{{\rm p}}$, c = -d$_{{\rm z}}$.
Выразим Р из (2.2): Р = (dZ/dt-cZ)/b. Затем продифференцируем (2.2) по t, и подставим в полученный результат выражение для Р. В итоге будем иметь:
Z = (a+c)Z - acZ + bf(Z) = (a+c)Z + g(Z). (4)

Последнее выражение, являющееся уравнением Льенара, можно представить в виде уравнения Лагранжа типа (4):

d/dt($\partial $L/$\partial $Z) - $\partial $L/$\partial $Z = - $\partial $R/$\partial $Z (5)
L = T - V(Z) = $\raise.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\kern-.1em/ \kern-.15em\lower.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$} $Z $^{{\rm 2}}+\smallint $(acZ - bf(Z))dZ
R = $\raise.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\kern-.1em/ \kern-.15em\lower.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$} $(a+c)Z$^{{\rm 2}}$, f(Z) = ZK$^{{\rm N}}$/(Z$^{{\rm N}}$+K$^{{\rm N}})$
2V(Z) = cZ$^{{\rm 2}}$ - abK$^{{\rm 2}}$arctg(Z$^{{\rm 2}}$/K$^{{\rm 2}})$ (6)

Временная развертка динамики популяции отражает затухающие колебания вокруг некоторой точки. Однако, в природе у ряда популяций существуют устойчивые колебания численности. Ярким примером таких колебаний могут служить колебания численности тихоокеанских лососевых и, особенно, горбуши. Но, в модели (2.2) построенной на довольно естественных положениях их не воспроизводится на сравнительно длинном временном интервале. В чем здесь причина? Иными словами, возникает довольно формальная задача, заключающаяся в регламентации параметров данной модели (из области допустимых) таким образом, чтобы решение (2.2) имело колебательный режим.

Анализ феноменологии, положенной в основу вывода (2.2) показывает, что в реальных диапазонах параметров d$_{{\rm p}}$, V и d$_{{\rm z}}$ невозможно сделать декремент затухания нулевым. Более того, для горбуши величины параметров V=1 и d$_{{\rm z}}$=1 обеспечивают максимальную скорость затухания а+с = -2.

Таким образом, здесь возникает чисто формальный вопрос: ``Каким требованиям должна удовлетворять функция f(Z), чтобы решения (2) имели колебательный характер?''

Единственным решением данного вопроса является функция

f(Z) = d$_{{\rm0}}$+(1-d$_{{\rm0}}$-e)Heaviside(K-Z), (7)

генерирующая релаксационные колебания решений расширенной системы, представленные ниже

\begin{figure}\begin{center} \epsfxsize=4.80in %%\epsfysize=350 \epsfbox{fig1.eps} \end{center}\end{figure}

Ваши комментарии
[SBRAS]
[Головная страница]
[Конференции]
[СО РАН]

© 2001, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
© 2001, Объединенный институт информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт систем информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт математики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Новосибирский государственный университет
Дата последней модификации Saturday, 29-Sep-2001 19:17:34 NOVST