Квантовые вычисления в квантовой сети

Кучеров М.М.
Красноярский государственный технический университет

Аннотация:

Массив взаимодействующих ядерных спинов рассматривается как пример сети. В сильном магнитном поле она моделируется с помощью дифференциальных уравнений $i$dx/d$t$ = v(x),
где x($t$) = ( $x_{{\rm 1}}(t)$, ..., $x_{n}(t))$ - вектор переменных состояния, $t$ - время,
а v(x) = ($v_{{\rm 1}}$(x), ..., $v_{n}$(x)) - вектор функций, характеризующих динамику системы. Переменные состояния представляют т.н. когерентности, т.е. недиагональные элементы матрицы плотности. Такие сети спинов могут обрабатывать информацию под воздействием последовательности радиочастотных импульсов, за которым следует детектирование сигнала спада свободной индукции. Далее рассматривается одномерная цепочка спинов (AB AB ...), связанных магнитным дипольным взаимодействием. Рассмотрена логическая операция C-NOT. При быстром исправлении ошибок массив взаимодействующих ядерных спинов может работать как параллельный компьютер.

The notion of network often occurs in the science. Nuclear spin arrays provide an example. To an approximation of the strong magnetic field they can be modelled by differential equations
$i$dx/d$t$ = v(x), where x($t$) = ( $x_{{\rm 1}}(t)$, ..., $x_{n}(t))$ is a vector of state variables, $t$ is time,
and v(x) = ($v_{{\rm 1}}$(x), ..., $v_{n}$(x)) is a vector of functions that characterize the dynamics. The state variables represent the so-called "coherences", i.e. non-diagonal elements of a density operator. Such arrays might process information if subjected to a sequence of radio-frequency (rf) pulses followed by the detection of a time-domain free induction decay (FID) signal. The next step would be to tackle one-dimensional array of spins (AB AB ...) with spin-spin interaction. The concepts are illustrated by implementations of logic operation C-NOT. Operated in coherent manner with frequent error correction, such a system functions as a parallel digital computer.

Ключевые слова: сети спинов, магнитное дипольное взаимодействие, параллельный компьютер.

Сети рассматриваются во многих науках, от кибернетики до биологии. Наиболее фундаментальными являются проблемы архитектуры сетей. Коллективную динамику взаимодействующих систем можно рассматривать, основываясь на индивидуальной динамике и схеме их соединений. При изучении коллективной динамики стремятся к рассмотрению простых, почти одинаковых динамических систем, взаимодействующих между собой геометрически правильным образом, со статическими связями между узлами. Эти упрощения позволяют обойти вопросы структурной сложности и остановиться на потенциально значимой динамике системы.

В этой связи рассмотрим динамику системы, состоящей из $N$ спинов $I = 1/2$, упорядоченных в регулярную решетку, например одномерную. В спектроскопии ЯМР каждый кубит (квантовый бит) реализован через спиновую ориентацию отдельного атомного ядра - направление ядерного магнитного диполя. Каждый диполь может быть направлен вдоль или против внешнего приложенного магнитного поля. Первое состояние имеет меньшую энергию, чем второе, и состояния могут быть изменены с помощью испускания или поглощения радиочастотного (РЧ) фотона с нужной энергией. Это взаимодействие с полем излучения также обеспечивает способ внешнего измерения спиновых состояний большого (статистического) ансамбля идентичных ядер на разных участках решетки. В твердом теле принято считать, что все резонансы уширены благодаря магнитному диполь-дипольному взаимодействию (ДДВ), которое в случае большого зеемановского взаимодействия сводится к усеченному гамильтониану


\begin{displaymath} {H=Z+ZZ+FF=} \end{displaymath}


\begin{displaymath} {{=\sum\limits_{j = 1}^{N} {\omega _{0j}}} I_{jz} + {\texts... ...right)} \right]}\left( {1 - 3\cos ^{2}\theta _{mn}} \right),} \end{displaymath} (1)

в котором $Z$ - зеемановское взаимодействие, $ZZ$ - продольная часть магнитного ДДВ, $FF$ - флип-флоп (поперечная часть магнитного ДДВ), $\gamma $ - гиромагнитное отношение ядер, сумма пробегает по всем парам спинов $(m,n)$, r$_{mn}$ - вектор от узла $m$ к узлу $n$, а $\theta $$_{mn}$ - угол между направлением магнитного поля и вектором r$_{mn}$. Взаимодействие между ядерными спинами позволяет выполнять основные логические функции с использованием кубитов.

Состояние такой системы полностью описывается вектором ${\left\vert {\psi} \right\rangle} $ в 2$^{N}$ -мерном комплексном пространстве. Для слабо взаимодействующих спиновых систем собственные вектора ${\left\vert {\psi} \right\rangle} $могут быть выражены, как линейные суперпозиции декартовых произведений односпиновых собственных функций $I_{jz} $: ${\left\vert {\alpha _{j}} \right\rangle} ,{\left\vert {\beta _{j}} \right\rangle} $:


\begin{displaymath} {\left\vert {\psi} \right\rangle} = {\sum\nolimits_{k} {a_{k}}} {\left\vert {\psi _{k}} \right\rangle} . \end{displaymath}

Декартовы произведения имеют вид, например,


\begin{displaymath} {\left\vert {\alpha \beta \beta ...\alpha \beta} \right\rang... ... {011...01} \right\rangle} ,\left( {k = 1,...,2^{N}} \right), \end{displaymath} (2)

где принято соглашение $\alpha = {\left\vert {1 / 2} \right\rangle} \equiv 0$ и $\beta = {\left\vert { - 1 / 2} \right\rangle} \equiv 1$. Такое соответствие между ориентациями спинов и битовыми строками необходимо для совпадения булевских таблиц истинности и квантовомеханического представления матриц. Каждая функция соответствует строке из $N$ классических битов. Такие функции называются чистыми состояниями. В то время как классический компьютер оперирует только классическими строками, т.е. множеством декартовых произведений односпиновых собственных функций, известно, что квантовый компьютер может оперировать также произвольными суперпозициями ${\sum\nolimits_{k} {b_{k}}} {\left\vert {\psi _{k}} \right\rangle} $. Вследствие этого он может выполнять параллельные вычисления, которые классический компьютер с одним процессором должен был бы выполнять последовательно.

При ненулевой температуре равновесное состояние статистического ансамбля - смешанное и может быть описано с помощью оператора матрицы плотности $\sigma _{0} = {\sum\nolimits_{l} {b_{l}}} {\left\vert {\psi _{l}} \right\rangle }{\left\langle {\psi _{l}} \right\vert}$. Удобное представление 2$^{N}$ чистых состояний в пространстве Лиувилля задается декартовыми произведениями операторов продольной поляризации $I^{\alpha} ,I^{\beta}$:

\begin{displaymath} I^{\alpha} = {\left\vert {\alpha} \right\rangle} {\left\lang... ...\hfill \\ {0} \hfill & {0} \hfill \\ \end{array}}} \right), \end{displaymath}


\begin{displaymath} I^{\beta} = {\left\vert {\beta} \right\rangle} {\left\langle... ...\hfill \\ {0} \hfill & {1} \hfill \\ \end{array}}} \right). \end{displaymath}

Например, оператор $\sigma $, соответствующий чистому состоянию (2), становится просто


\begin{displaymath} \sigma = I_{1}^{\alpha} I_{2}^{\beta} I_{3}^{\beta} ...I_{N - 1}^{\alpha } I_{N}^{\beta} . \end{displaymath} (3)

В дальнейшем мы будем рассматривать параллельные вычисления с использованием смешанных состояний.

Вместо непосредственного использования энергетических уровней более выгодным является назначение квантовых состояний компьютера отдельным спектральным резонансным линиям, которые соответствуют переходам между энергетическими уровнями. Такая "спектральная реализация" состояний квантовой системы может быть достигнута с помощью использования произвольного "наблюдательного спина" $I_{{\rm0}}$, переходы которого маркируются на основе состояний окружающих спинов. Предположим далее, что взаимодействие между спинами включает только ближайших соседей. Тогда бесконечную систему спинов можно эффективно описать, используя статистический ансамбль, состоящий из ограниченного числа $L$ спинов, окружающих $I_{{\rm0}}$. В ограниченной временной области это рассмотрение совпадает с результатом для бесконечной одномерной спиновой цепи. Идеальной является ситуация, в которой в отсутствие члена $FF$ (флип-флоп) в гамильтониане спин $I_{{\rm0}}$ показывает разрешенные диполь-дипольные соединения со всеми другими $L$ спинами, и где все одноквантовые переходы спина $I_{{\rm0}}$ невырождены. Мы представляем 2$^{L}$ состояний квантового компьютера операторами, где каждый из спинов $I_{{\rm 1}}$, ...,$ I_{L}$ находится в состоянии "вверх" или "вниз".


\begin{displaymath} I_{0z} I_{1}^{{{\alpha} \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha}... ...a} {\beta}} } \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\beta }}} . \end{displaymath} (4)

Следует заметить, что эти состояния, которые являются произведениями оператора "наблюдательного спина" $I_{{\rm0}{\rm z}}$ и чистых состояний, являются смешанными, так как каждое из них имеет собственные значения $0$ и $\pm 1/2$. Все переходы, соответствующие состояниям вида уравнения (4), могут быть возбуждены ($\pi $/2)$_{{\rm y}}$ импульсом из состояния теплового равновесия $\sigma _{eq} = {\sum\nolimits_{j = 1}^{L + 1} {I_{jz} }} $. Спин $I_{{\rm0}}$, за которым ведется наблюдение, служит для подготовки начального состояния $I_{0x} I_{1}^{{{\alpha} \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha} {\beta}} } \right... ...{\vphantom {{\alpha} {\beta}} } \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\beta }}} $, а также для детектирования.

Пренебрегая изменениями операторов продольных компонент спинов $I_{jz} $, что оправдано при наличии анизотропии гамильтониана диполь-дипольного взаимодействия, для спектральной реализации квантового компьютера массив ядерных спинов может быть моделирован дифференциальными уравнениями $i$dx/d$t$ = v(x), где x($t)$ = ( $x_{{\rm 1}}(t)$, ..., $x_{n}(t))$ - вектор переменных состояния, $n$=2$^{L}$, $t$ - время, а v(x) = ($v_{{\rm 1}}$(x), ..., $v_{n}$(x)) - вектор функций, характеризующих динамику. Переменные состояния представляют т.н. "когерентности", т.е. недиагональные элементы оператора матрицы плотности $I_{0x} I_{1}^{{{\alpha} \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha} {\beta}} } \right... ...{\vphantom {{\alpha} {\beta}} } \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\beta }}} $ [1]. Начальное состояние соответствует суперпозиции всех переменных x($t)$. Можно качественно описать систему, представляя 2$^{L}$-мерное комплексное пространство с осями $x_{{\rm 1}}$, ..., $x_{n}$. В процессе эволюции вектор x($t)$ проходит сквозь пространство состояний, управляемый полем скоростей dx/d$t$ = v(x). Для примера, полагаем $L=4$. Вводя обозначения: $x_{{\rm 1}}-I_{0x} I_{ - 2}^{\alpha} I_{ - 1}^{\alpha} I_{1}^{\alpha} I_{2}^{\alpha} $, $x_{{\rm 2}} -I_{0x} I_{ - 2}^{\alpha} I_{ - 1}^{\alpha} I_{1}^{\alpha} I_{2}^{\beta} $, $x_{{\rm 3}}-I_{0x} I_{ - 2}^{\beta} I_{ - 1}^{\alpha} I_{1}^{\alpha} I_{2}^{\alpha} $, $x_{{\rm 4}}-I_{0x} I_{ - 2}^{\beta} I_{ - 1}^{\alpha} I_{1}^{\alpha} I_{2}^{\beta} $, $x_{{\rm 5}}-I_{0x} I_{ - 2}^{\alpha} I_{ - 1}^{\beta} I_{1}^{\alpha} I_{2}^{\alpha} $, ..., $x_{{\rm 1}{\rm 6}}-I_{0x} I_{ - 2}^{\beta} I_{ - 1}^{\beta} I_{1}^{\beta} I_{2}^{\beta} $, получим уравнения для вектора переменных состояния x($t)$ в единицах $ZZ$ взаимодействия (1):


\begin{displaymath} \begin{array}{l} i\dot {x}_{1} = x_{1} + {\frac{{1}}{{8}}}\... ...ac{{1}}{{8}}}\left( {x_{15} + x_{16}} \right). \\ \end{array}\end{displaymath} (5)

Начальные условия отражают состояние системы после ($\pi $/2)$_{{\rm y}}$ импульса,


\begin{displaymath} x_{1} = x_{2} = ... = x_{16} = {\frac{{1}}{{16}}}. \end{displaymath} (6)

Диагональные члены показывают прецессию "наблюдательного спина" в локальном поле, а суммы в скобках приведены с учетом краевых условий (усредненный поток когерентности из остальной части одномерной системы). Результат эволюции системы демонстрирует самоподдерживающиеся колебания спиновой системы. Максимальная частота колебаний $\omega _{\max} = 1.38$, что соответствует величине расщепления в спектре $3.60$ эрстед, которое можно сопоставить с $3.64\pm 0.20$ эрстед, экспериментально измеренными в одномерной системе спинов фтора в апатите [3].

Такие массивы спинов могут обрабатывать информацию, будучи подвергнуты воздействию последовательности РЧ импульсов, за которым следует детектирование временного сигнала ССИ. Сигнал ССИ затем обрабатывается стандартным образом и преобразуется в частотную область.

Квантовый компьютер предлагаемого типа является развитием модели [2], в которой кубит также представляется ансамблем спинов $1/2$, но здесь в качестве эффективных кубитов рассматривается ограниченный ансамбль из $L$ спинов, окружающих $I_{{\rm0}}$, с учетом взаимодействия с остальной частью одномерной системы, а не изолированные системы из нескольких спинов. Рассмотрение реальных спиновых систем позволяет учесть коллективную динамику, что представляет интерес в случае жесткой решетки твердого тела.

Следующим шагом должно быть рассмотрение спиновой системы, в которой сочетаются сложность динамики и действие РЧ импульсов, такой как одномерная цепочка спинов $({AB}\,{AB} \ldots )$ с диполь-дипольным взаимодействием. Спины $A$ и $B$ различаются тем, что на $A$ имеется дополнительное поле $\Delta $ вдоль оси $z$. Это вносит изменения в систему уравнений (5), которые принимают вид


\begin{displaymath} \begin{array}{l} i\dot {x}_{1A} = \left( {1 + \Delta} \righ... ...}}}\left( {x_{9A} + x_{10A}} \right), \\ ... \\ \end{array}\end{displaymath} (7)

и т.д. Количество уравнений, соответственно, удваивается. Логическая схема XOR реализуется с помощью импульсной последовательности: $\left( {A} \right)\tau, \left( {\pi} \right)_{y}; \left( {B} \right)\left( {{\frac{{\pi}} {{2}}}} \right)_{y}, \tau , \left( {\pi} \right)_{y}, \tau $, в которой спины $A$ являются управляющими, ориентация спинов $B$ меняется в зависимости от ориентации спинов $A$, а $\pi $ импульсы прикладываются одновременно к спинам того и другого сорта. Начальные условия отражают состояние спинов $A$ после ($\pi $/2)$_{{\rm y}}$ импульса,


\begin{displaymath} x_{1A} = x_{2A} = ... = x_{16A} = {\frac{{1}}{{16}}},\hspace{4mm}x_{1B} = x_{2B} = ... = x_{16B} = 0. \end{displaymath} (8)

Время $\tau$ находится из того условия, что в момент $2\tau$ спины $B$ должны быть направлены вдоль оси $y$ (т.е. угол поворота в момент $2\tau$ должен составить ${\frac{{\pi}} {{2}}}$). Оно вдвое короче, чем было бы в случае цепи (ABC ABC ...). В результате приложения импульсной последовательности спины $B$ инвертируются, только если спины $A$ находятся в состоянии $1 \left( { = I_{A}^{\beta}} \right)$.

В заключение отметим, что рассмотренную спиновую систему можно использовать для дальнейшей разработки принципов квантовых вычислений с помощью стандартных импульсных методов ЯМР. Были предложены новые концепции для параллельных вычислений: использование статистического ансамбля спинов в смешанных суперпозиционных состояниях в регулярных структурах, и на основе этого, спектральная реализация квантового компьютера в твердом теле, что позволяет осуществить перевод логических выражений в последовательности импульсов ЯМР, которые можно реализовать на коммерческом спектрометре ЯМР. Хотя сегодня существует большой разрыв между возможной и желаемой реализацией квантовых алгоритмов, твердотельные устройства квантовой обработки информации позволяют преодолеть такие недостатки существующих систем, как небольшое число кубитов и сложность их разделения по химической идентичности, а также проблемы работы с растворами при комнатной температуре. Ни одна реализация квантового компьютера в твердом теле не может быть выполнена без учета ДДВ и коллективной динамики в регулярных структурах взаимодействующих систем.

Автор выражает благодарность В.Е.Зобову за обсуждение работы.


Литература

1
Ernst R. R., Bodenhausen G., Wokaun A. Principles of NMR in One and Two Dimensions Clarendon, Oxford, 1987.

2
Mádi Z. L., Brüschweiler R., Ernst, R. R. One- and two-dimensional ensemble quantum computing in spin Liouville space. // J. Chem. Phys., 109, 1998, 10603-10611.

3
Van der Lugt W., Caspers W.J. Nuclear magnetic resonance line shape of fluorine in apatite. // Physica, 30, 1964, 1658-1666.
Ваши комментарии
[SBRAS]
[Головная страница]
[Конференции]
[СО РАН]

© 2001, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
© 2001, Объединенный институт информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт систем информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт математики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Новосибирский государственный университет
Дата последней модификации Monday, 10-Sep-2001 21:45:57 NOVST