Учебный семинар
"Как решать незнакомую задачу"

Щетников А.И.
МОУ СОШ "Центр образования", Междуреченск
Щетникова А.В.
МОУ СОШ "Наша школа", Новосибирск

Введение

Широко распространённый в математическом сообществе взгляд на назначение "нетрадиционного" математического образования школьников состоит в том, что это образование видится ориентированным на отбор одарённых детей и последующую работу с ними с целью воспроизводства математического сообщества. К организационным формам такого образования относятся физико-математические классы и школы (в том числе заочные), математические кружки, олимпиады, турниры и т. п. Его содержательную основу составляют задачные комплексы, предназначенные для последовательного освоения тех умений и навыков, которые требуются при решении сложных математических задач.

Ценности такого подхода являются несомненными и неоспоримыми. И всё же мы считаем, что осмысленное усвоение важнейших математических идей должно составлять основу не одного только специализированного физико-математического образования, -- но также и общего образования, поскольку математическое мышление является неотъемлемой частью общей человеческой культуры.1

Наши разработки связаны с поиском таких нетрадиционных форм общего математического образования, которые позволили бы сформировать у школьников ясное представление об главных идеях того или иного раздела математики и дать им возможность практически освоить основные понятия этого раздела (см. [4], [6]). Мы считаем, что выполнение этой задачи может оказаться заметно более успешным, если математическое знание будет усваиваться учащимися не в готовом и завершённом виде, но в процессе его возникновения и становления. Популярным лекциям о математике для школьников мы предпочитаем такие формы работы, в которых элементы и структура математического знания воссоздаются самими школьниками в их деятельности. Эту деятельность мы стараемся организовать так, чтобы в ней нашлось место и для попыток индивидуального творчества, и для коллективного обсуждения результатов этих попыток.

Отметим также, что все наши разработки тесно связаны с идеей преподавания математики в историческом контексте на основе рациональной реконструкции математической деятельности (см. [1], [3], [5], [7]).

Назначение семинара и принципы подбора задач

Назначение учебного семинара "Как решать незнакомую задачу" состоит в том, чтобы донести до его участников (школьников и их учителей, работающих на семинаре ведущими групп) простую мысль: знания при решении незнакомой задачи важны, но здравомыслие и свободное состояние ума являются гораздо более важными, потому что применение знаний всегда опосредовано пониманием сути задачи и готовностью действовать.

Чтобы научиться решать незнакомые задачи, надо пробовать их решать. Желательно, чтобы задачи имели понятные формулировки и богатый фон, заслуживающий дальнейшей разработки. "Задача должна выглядеть осмысленной не только с позиции учителя, но и с позиции ученика. Желательно, чтобы она была связана с повседневным опытом учащихся; хорошо также, если постановка задачи связывается с шуткой, каламбуром или небольшим парадоксом. Задачу можно также начать с какого-либо хорошо известного учащимся факта; хорошо, если она при этом будет содержать нечто, представляющее общий интерес или возможность применений" [2, 296].

Для полноценного включения всех участников семинара в работу желательно, чтобы поставленная перед ними задача выглядела на первый взгляд достаточно простой. В исходной формулировке речь может идти о такой задаче, решение которой кажется почти элементарным ("на уровне четырёх действий арифметики") и которую поэтому могут начать решать все. Будет хорошо, если действительные трудности выявятся не в самом начале работы (иначе они могут оказаться непреодолимым препятствием), а некоторое время спустя, в процессе коллективного обсуждения первых полученных результатов. Ведь тогда участники семинара, уже включившиеся в процесс решения задачи, будут рассматривать эти трудности как свои собственные.

Задачам с завершёнными математическими формулировками, предполагающим достаточно определённые действия по их решению, мы склонны предпочитать "недоопределённые" задачи, в условиях которых описывается некоторая ситуация человеческой деятельности, возникшие в ней проблемы, которые следует разрешить, и вопросы, на которые интересно будет ответить. Решение таких задач начинается не "внутри математики", а "по поводу математики", когда математизация ситуации, описанной в условии задачи, и моделирование существенных для этой ситуации отношений оказываются важными составляющими циклического рабочего процесса, в котором поиск решения задачи чередуется с попытками переформулировать её условие так, чтобы оно стало более определённым, глубоким и содержательным.

Организация семинара

Семинар "Как решать незнакомую задачу" в том формате, как мы его в настоящее время проводим, рассчитан на 35-45 учащихся 8-10 классов и 3-5 учителей математики. Проводит семинар группа организаторов из 3 человек. Длительность семинара -- 3 дня. Работа школьников ежедневно начинается в 9 $^{{\rm 3}{\rm0}}$ и заканчивается в 15 $^{{\rm0}{\rm0}}$ с часовым перерывом на обед; работа учителей завершается обсуждением хода семинара, происходящим с 15 $^{{\rm0}{\rm0}}$ до 17 $^{{\rm0}{\rm0}}$.

Поставленная задача решается обычно в несколько рабочих циклов. Каждый цикл включает в себя поиск решения в малых группах (6 групп по 6-8 человек), представление результатов решения в форме стендовых докладов и последующую общую дискуссию. Взрослые и школьники участвуют в дискуссии на равных правах. Этой организационной формой достигаются высокая интенсивность работы -- и одновременно психологическая комфортность участников.2

Примеры задач

Две рассмотренные ниже задачи решались на семинарах, проведённых нашей группой в школе №42 г. Кемерово и школе №11 г. Мыски. Описывая эти задачи, мы следовали сценарию уже прошедших семинаров лишь отчасти, поскольку нам представлялось важным представить здесь скорее логику событий, нежели их историю.

Задача 1 (рассчитана на 2-3 дня работы). После стирки хозяйка набирает полную ванну чистой воды, чтобы прополоскать бельё. Посмотрим, насколько эффективным является такой способ полоскания. Предположим, что выстиранное бельё содержит 1 л мыльной воды. Если прополоскать его в 100 л чистой воды, концентрация мыльного раствора упадёт в 101 раз (мыло, которое приходилось на 1 л, теперь разойдётся на 1 + 100 = 101 л). Но если разделить 100 л на две порции по 50 л, то после первого полоскания бельё станет чище в 51 раз, и после второго ещё в 51 раз. Тогда после двух полосканий оно станет чище в 51 $\times $ 51 = 2601 раз. Отсюда видно, что чистую воду при полоскании выгодно не использовать всю сразу, но делить на части. Теперь конкретизируем задачу. Итак, пусть выстиранное бельё содержит 1 л мыльной воды, и пусть для его полоскания отведено 10 л чистой воды. Как лучше всего использовать эту воду, чтобы бельё после полоскания стало максимально чистым?

Первый день. Можно ожидать, что участники семинара начнут работу в группах с освоения основной расчётной формулы, подсчитывая коэффициент очистки для самых простых случаев, когда вода делится на 2, 5, 10 равных частей:

$K_{{\rm 2} {\rm\times} {\rm 5}}$ = (1 + 5)$^{{\rm 2}}$ = 36, $K_{{\rm 5} {\rm\times} {\rm 2}}$ = (1 + 2)$^{{\rm 5}}$ = 243, $ K_{{\rm 1}{\rm0} {\rm\times} {\rm 1}}$ = (1 + 1) $^{{\rm 1}{\rm0}}$ = 1024.

Вслед за этим может быть записана общая формула вычисления коэффициента очистки в случае деления воды на произвольное число равных частей:

\begin{displaymath} K_{n} = \left( {1 + {\frac{{10}}{{n}}}} \right)^{n}. \end{displaymath}

В некоторых группах на частных примерах могут рассматриваться результаты, к которым приводит деление воды на неравные части:

$K_{{\rm 1} {\rm +} {\rm 9}}$ = (1 + 1)(1 + 9) = 20, $K_{{\rm 1} {\rm +} {\rm 4} {\rm +} {\rm 5}}$ = (1 + 1)(1 + 4)(1 + 5) = 60, и т. п.

Предметом теоретического исследования могут стать также следующие общие утверждения, основывающиеся на простых алгебраических неравенствах:

 Из всех вариантов деления данной порции воды на две части самым выгодным является тот, когда обе части равны, поскольку

(1 + $a)^{{\rm 2}}$ > (1 + [$a$ - $d$])(1 + [$a+d$]).

 Любую данную порцию воды всегда выгоднее делить на части, нежели использовать целиком, поскольку для любых положительных $a$, $b$ выполняется неравенство

(1 + $a)$(1 + $b)$ > 1 + $a+b$.

Непосредственно из этого последнего утверждения следует вывод о том, что не существует такого деления воды на конечное число частей, которое приводило бы к максимальному коэффициенту очистки. Тем самым первоначальное условие задачи следует видоизменить: в новой постановке речь должна идти о том, какие коэффициенты очистки являются теоретически достижимыми, а какие нет.

Здесь надо сделать одно важное замечание. В работе групп скорее всего будут получены не все перечисленные выше результаты, а лишь некоторые (но возможно -- и какие-то совсем другие); причём разные группы могут выбрать для себя разные направления исследования, так что одни группы получат одну часть результатов, а другие -- другую. Ознакомление участников семинара со всеми полученными результатами и последующее сведение этих результатов в единую систему происходит сначала во время стендовых докладов групп, а потом на общей дискуссии.

Некоторые темы могут быть внесены в рабочее пространство семинара ведущим общей дискуссии. Мы полагаем, что таким может оказаться центральный вопрос о том, что произойдёт с коэффициентом очистки, если воду делить на всё большее и большее число порций. Смысл этого вопроса желательно оставить несколько размытым, чтобы его уточнение стало предметом групповой работы второго дня.

Второй день. Один из возможных продуктивных ходов состоит в составлении таблицы $K_{n}$ для $n$, имеющих вид 10$^{m}$. Внимательное наблюдение за таблицей показывает, что величина $K_{n}$ с каждой строкой по-видимому окончательно определяется в очередном десятичном знаке. Этот процесс становится ещё более наглядным, если выписать разности $D_{n}$ между соседними значениями $K_{n}$ в составленной таблице. Можно видеть, что имеет место приближённое соотношение $D_{n} \quad \approx \quad n$/10. Тем самым процесс суммирования разностей оказывается схожим с процессом суммирования геометрической прогрессии, порождающей периодическую десятичную дробь 1,(1) = $^{{\rm 1}{\rm0}}$/$_{{\rm 9}}$. И можно утверждать с большой степенью уверенности, что коэффициент очистки никогда не превысит некоторого числа, заключённого между 22026,46 и 22026,47.

n Kn Dn
1 11  
10 1024  
100 13780,61  
1000 20959,15  
10000 21916,68  
10000 21916,68 $ \approx $1000
100000 22015,45 $ \approx $100
1000000 22025,36 $ \approx $10
10000000 22026,35 $ \approx $1
100000000 22026,45 $ \approx $0,1
1000000000 22026,46 $ \approx $0,01

Эту линию изысканий продолжает следующее рассуждение. Объём воды 10 $л$, о котором шла речь в условии задачи, мог быть и иным. И следует поставить вопрос о предельном коэффициенте очистки для любого объёма $V$, а точнее -- для любого отношения $V/V_{{\rm0}}$ объёмов чистой воды и воды, остающейся в белье после выжимания. Коэффициент очистки можно представить в виде

\begin{displaymath} K_{n} = \left( {1 + {\frac{{(V / V_{0} )}}{{n}}}} \right)^{n... ... {1 + {\frac{{1}}{{z}}}} \right)^{z}} \right]}^{(V / V_{0} )}, \end{displaymath}

где введена новая переменная$ z$ = nV$_{{\rm0}}/V$. При стремлении $ z$ к бесконечности выражение в квадратных скобках будет стремится к пределу, известному как число $e$ = 2,71..., -- поэтому, решая предложенную задачу, школьники приближаются к идеям Д. Бернулли и Л. Эйлера ввести число $e$ как предельное значение данного выражения [8, 294].

Важнейшей темой общей дискуссии второго дня служит различение между правдоподобной догадкой и математически доказанным фактом. Наблюдение за таблицей привело нас к выводам, которые почти наверняка являются истинными, -- поскольку нет никаких оснований предполагать, что правильный порядок, замеченный нами в первых строках таблицы, окажется затем разрушенным. Однако эти выводы нельзя считать доказанными, ибо не найдено никаких оснований, из которых они могли бы быть выведенными.

Наш опыт показывает, что для многих участников семинара правдоподобная догадка о существовании предельной величины коэффициента очистки сама по себе служит окончательным решением задачи. Эти участники не видят необходимости в поиске более строгого доказательства существования указанного предела. Мы полагаем, что такая точка зрения имеет право на существование. Поэтому мы считаем нужным выделить к концу общего заседания второго дня такие рабочие темы, которые были бы интересными для разных участников.

Третий день. Группы переформируются в соответствии с темами, примерный список которых приведён ниже.

 "Теоретическая математика" -- Как доказать существование предела?

 "Прикладная математика I" -- Какое деление воды на части обеспечивает максимальную эффективность в том случае, когда нужно учитывать фактор времени?

 "Прикладная математика II" -- Какова будет предельная степень очистки, если бельё также можно делить на части?

 "Физика" -- Насколько та математическая модель, которой мы пользуемся, соответствует реальности?

 "Техника" -- Какое устройство должна иметь экономичная стиральная машина?

Задача 2 (рассчитана на 1-2 дня работы). Астрология возникла ещё в Древнем Вавилоне. Жрецы пытались предсказывать судьбу человека по расположению небесных светил в момент его рождения. Главное светило, Солнце, в течение года перемещается по зодиакальным созвездиям. Поэтому самые простые гороскопы учитывают только тот знак зодиака, под которым человек родился. Является ли астрология наукой или шарлатанством -- это вопрос весьма спорный. Одни говорят, что характер и судьба человека на самом деле зависят от его знака зодиака; другие считают это обычным внушением. А мы с вами попытаемся проверить научность астрологии опытным путём, исследуя вопрос о том, существует ли какая-либо связь между временем рождения человека и какой-нибудь характеристикой этого человека. Нас здесь всего 40 человек -- слишком мало на один знак зодиака. Поэтому мы будем искать зависимость выбранной характеристики не от знака зодиака, а от времени года, когда человек родился. Эту задачу мы будем решать в несколько этапов. На первом этапе каждая группа выберет ту характеристику, которую она будет исследовать, разработает методику опроса и составит опросный лист. Затем мы соберёмся все вместе, и каждый из нас заполнит все опросные листы. После этого мы снова разойдёмся по группам, чтобы произвести обработку данных и проанализировать результаты. Затем мы ещё раз соберёмся вместе, чтобы рассмотреть полученные результаты и обсудить их.

В качестве предмета исследования одни группы выбирают какую-либо субъективную характеристику человека ("верите ли вы в приметы?", "считаете ли вы себя совой или жаворонком?"), другие же предпочитают работать с объективными фактами, не зависящими от мнения или настроения опрашиваемых ("какой у вас цвет глаз?", "какая у вас годовая оценка по алгебре?").

Для вопросов типа "верите ли вы в приметы?" обычная форма представления результатов состоит в определении того, сколько процентов от общего числа опрошенных по каждому времени года ответили на вопрос положительно. Для вопросов типа "какая у вас годовая оценка по алгебре?" определяется среднеарифметическая оценка по каждому времени года.

Часть полученных результатов может оказаться весьма интригующей. Например, на одном из проведённых нами семинаров оказалось, что (а) средний балл родившихся летом на 0,3 балла больше среднего балла для остальных сезонов; (б) 50% кареглазых родились весной.

После того, как все участники семинара познакомятся с результатами каждой группы, начинается общая дискуссия, в которой выявляются две основные проблемы, возникающие в такого рода исследованиях.

Для исследований, посвящённых субъективным характеристикам, существенной оказывается проблема адекватности результатов (мы узнаём не то, кем являются опрашиваемые на самом деле, но то, кем они себя считают в ситуации опроса или даже кем они хотят казаться окружающим). Ведь чаще всего человек отвечает на заданный вопрос, учитывая ожидания спрашивающего; сообщает то, как он $себя$ в данный момент представляет, а не то, каков он на самом деле (вообще: знает ли кто сам про себя, каков он на самом деле?).

Для всего круга проведённых исследований важнейшей оказывается проблема доверительности результатов: в какой мере можно делать выводы на основании ограниченной выборки данных? Если среди 40 участников этого семинара 50% кареглазых родилось весной, то означает ли это, что кареглазые всегда в большем количестве рождаются весной, чем в любое иное время года?

Чтобы показать осмысленность этого последнего вопроса, на общем заседании имеет смысл провести эксперимент с бросанием монеты (10 серий по 10 бросаний). На проведённом семинаре эксперимент получился очень ярким. В первых трёх сериях результат был 7 : 3, 7 : 3, 8 : 2 в пользу решки (причём первые две серии начинались с 5 выпадений решки). Многие участники семинара уже настаивали на том, что монета кривая. Однако следующие серии были такими: 6 : 4, 4 : 6, 5 : 5, 5 : 5, 3 : 7, 6 : 4, 4 : 6. И после того, как было подсчитано, что из 100 бросаний решка выпала 55 раз, большинство участников сочло монету "нормальной" в том смысле, что они стали бы играть ей в "орлянку", будучи готовыми равно поставить на выпадение как решки, так и орла.

Обсуждение биномиального распределения явно выходит за рамки однодневного семинара такой насыщенности. Однако не затронуть тему доверительных интервалов было бы неправильным. Поэтому можно задать участникам следующий вопрос: "Сочли бы вы монетку "нормальной", если бы выпадения орла и решки в серии из 100 бросаний соотносились бы как 80 : 20? 70 : 30? 60 : 40? 55 : 45? 51 : 49?" Интересно, что на проведённом семинаре интуиция подсказала участникам границу 60 : 40, согласующуюся с законом $\sqrt {N} $. Можно сообщить участникам о существовании такого закона, не приводя его доказательства, -- и обратить их внимание на то, что согласно этому закону в серии из 10 бросков даже соотношение 8 : 2 является вполне обычным. Ещё один аналогичный пример для обсуждения может быть следующим: "В некотором городе за последние 10 лет родилось 5070 мальчиков и 4930 девочек. Можно ли на основании этой выборки сказать, что мальчиков вообще рождается несколько больше, чем девочек?"

Если обернуть результат этого обсуждения на проведённые исследования, где было опрошено 40 человек и на каждое время года приходилось в среднем по 10 человек, то оказывается, что почти все выделенные "зависимости" могут оказаться обычными флуктуациями.

Имеет смысл завершить работу по задаче обсуждением вопроса о том, сколько надо опросить человек, чтобы сделать определённые выводы о научности астрологических предсказаний.

Благодарности. Мы благодарим Т. П. Сушину, учителя математики Центра образования г. Междуреченска, и Н. В. Яковлеву, учителя математики школы №96 г. Красноярска, вместе с нами участвовавших в подготовке и проведении двух описанных здесь семинаров. Мы выражаем признательность З. И. Лозинг, директору школы №42 г. Кемерово, и Т. Е. Скоровой, директору школы №11 г. Мыски, за ту организационную работу, которая сделала проведение этих семинаров возможной. Спасибо всем участникам семинаров за интересную и плодотворную совместную работу.

Литература

1
Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., Наука, 1967.

2
Пойа Д. Математическое открытие. М., Наука, 1970.

3
Роджерс Л. Историческая реконструкция математического знания. // Математическое образование, 1(16), 2001, 74-85.

4
Щетников А.И. Материалы к проектированию курса геометрии для средней школы. // Математическое образование, 3(14), 1999, 35-42.

5
Щетников А.И., Щетникова А.В. Роль контрпримеров в развитии основных понятий математического анализа. Новосибирск, АНТ, 1999.

6
Щетников А.И., Щетникова А.В. Понятие степени в школьном курсе математики. // Труды Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XII". Воронеж, 2001.

7
Щетников А. И., Щетникова А. В. Преподавание математики в историческом контексте. В печати.

8
Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. Т.1. М., Физматгиз, 1961.
1 В связи с этим мы хотим обратить внимание читателя на то, что все образовательные проекты, реализуемые авторами, осуществляются в таких школах, где нет специального отбора детей по "математическим" способностям, зато наличествует желание дать учащимся полноценное общее образование.
2 Психологической комфортности способствуют также проводимые в рамках семинара интеллектуальные игры. На сегодняшний день типичными для нашей практики играми являются рэндзю (крестики-нолики на бесконечном поле, в которых побеждает тот, кто выстроит 5 значков в линию) и игра в составление слов по заданной форме (_о_о_о = молоко, долото, болото, ...; за каждое слово участнику начисляется тем больше очков, чем меньше человек его вспомнило). Обе игры привлекательны своими простыми правилами и яркой интеллектуальностью. В первые два дня игры проходят по группам с 14 $^{{\rm 0}{\rm 0}}$ до 15 $^{{\rm 0}{\rm 0}}$; последний день завершается лично-командным первенством.
Ваши комментарии
[SBRAS]
[Головная страница]
[Конференции]
[СО РАН]

© 2001, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
© 2001, Объединенный институт информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт систем информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт математики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Новосибирский государственный университет
Дата последней модификации Sunday, 23-Sep-2001 18:46:31 NOVST