Оглавление
Координаторы: член-корр. РАН Воропай Н. И., д-р физ.-мат. наук Михайленко Б. Г. (СО РАН),
д-р физ.-мат. наук Шевалдин В. Т. (УрО РАН)
Исполнители: ИСЭМ, ИВМиМГ СО РАН, ИММ УрО РАН
Разработаны, теоретически обоснованы и экспериментально исследованы новые варианты алгоритмов внутренних точек для решения задач линейного программирования (ЛП) и систем линейных неравенств. В частности, разработан класс алгоритмов оптимизации в конусе скошенного пути, развивающий и обобщающий идеи алгоритмов центрального пути. В то же время вычислительный процесс в них может начинаться с любых относительно внутренних точек множеств допустимых решений, что существенно ослабляет проблему инициализации. На базе теоремы Фаркаша об альтернативных неравенствах предложен эффективный критерий выявления несовместности систем неравенств с двухсторонними ограничениями на переменные.
Разработаны и обоснованы фейеровские методы анализа несовместных систем линейных неравенств и несобственных задач ЛП в соответствии с родами их несобственности. На основе теории фейеровских отображений с несовпадающими пространствами образов предложены оригинальные параллельные схемы декомпозиции для большеразмерных систем линейных неравенств и уравнений с сильно структурированными матрицами коэффициентов. Исследованы методы коррекции несобственных задач выпуклого и квадратичного программирования, основанные на применении регуляризованной по прямым и двойственным переменным функции Лагранжа. Найдены максимально общий вид регуляризирующих добавок и условия, при которых данный подход применим для оптимизационных задач, различных по типу несобственности.
Предложен численный метод поиска всех решений систем нелинейных алгебраических уравнений с выпуклыми функциями в левых частях. На каждом шаге итерационного процесса строится полупространство, отсекающее текущий корень. Предложенные конструкции построения отсечений аналогичны правилам построения правильных отсечений в целочисленном программировании и могут также применяться в итерационных процессах глобальной оптимизации с использованием необходимых условий оптимальности.
С позиций алгебраического подхода рассмотрены задачи невыпуклого квадратичного программирования. Приведены примеры комбинаторного анализа в сочетании с необходимыми условиями оптимальности. Алгебраический подход основан на понятии базисов Грёбнера. Дано описание взаимосвязи задач невыпуклого квадратичного программирования и полуопределенного программирования. Предложен новый вариант метода ветвей и границ для задачи минимизации невыпуклой квадратичной функции при выпуклых квадратичных ограничениях — неравенствах. Оценки оптимального значения целевой функции строятся на основе внутренней и внешней квадратичных аппроксимаций допустимого множества. Приведены идеи аналогичного алгоритма для задачи квадратичной оптимизации при невыпуклых квадратичных ограничениях.
Проведен анализ уравнений установившихся движений трех видов моделей электроэнергетических систем (ЭЭС): ЭЭС постоянного и переменного токов в пространствах активных и полных мощностей. Предложен способ локализации области возможных режимов. Указан метод поиска решений уравнений установившихся режимов ЭЭС, названных “большими по модулю” и представляющих собой специальные степенные ряды с определенной областью сходимости. Для трехузловой ЭЭС в пространстве активных мощностей в консервативной идеализации решена задача существования режима.
Осуществлена практическая реализация алгоритмов решения задач определения допустимых и оптимальных установившихся режимов ЭЭС, которые основаны на решении последовательности линеаризованных подзадач. Алгоритмы использованы для решения задач анализа и синтеза значений параметров режима при наличии скалярного или векторного оптимизационного критерия. Исследованы проблемы, возникающие при решении задач, осуществлены расчеты на реальных схемах ЭЭС.
Рассмотрены варианты моделей оценки дефицита мощности ЭЭС. Обоснована возможность совмещения в едином критерии ранее применявшихся процедур последовательной оптимизации — определения минимального суммарного дефицита мощности по системе, а затем распределения его пропорционально нагрузкам узлов. Проведены экспериментальные расчеты, показавшие эффективность такого совмещения с позиций минимизации времени расчетов по модели. Исследована модель с нелинейными потерями передаваемой мощности в линиях электропередачи. Доказано, если величины потерь являются выпуклыми функциями от объема передаваемой по межузловым связям мощности, то модель оценки дефицита мощности представляется, в результате специальных преобразований, в виде задачи выпуклого программирования.
Рассмотрены проблемы моделирования установившегося неизотермического потокораспределения в гидравлических цепях. Проведен анализ существующих математических моделей неизотермического потокораспределения. Предложена и апробирована на численном примере новая теплогидравлическая модель, инвариантная к направлению потоков.
Построены локальные экспоненциальные и тригонометрические сплайны второго порядка, сохраняющие монотонность и свойство, близкое к выпуклости, дискретных данных. Построенные сплайны хорошо аппроксимируют функции типа ступеньки. Вычислены величины уклонений в равномерной метрике сплайнов от функций из указанных классов, которые оказались равными колмогоровским и коноваловским поперечникам этих классов. Тем самым найдено еще одно (третье) экстремальное подпространство для поперечников функциональных классов. Ранее были известны только два таких подпространства: тригонометрические полиномы и интерполяционные сплайны с равномерными узлами интерполяции и склейки. Введен новый устойчивый метод фрактальной интерполяции, обобщающий некоторые известные ранее методы. Найдены необходимые и достаточные условия на параметры интерполяции, при которых величины первых разностей интерполирующей функции находятся в заданном диапазоне (в частности, обеспечивается сохранение монотонных данных). Исследована возможность построения фрактальной функции в среднем. Для широкого класса модулей непрерывности (включая классические модули) доказан ряд новых точных неравенств типа Джексона—Стечкина в L2 между наилучшим приближением периодической функции тригонометрическими многочленами фиксированной степени и ее модулем непрерывности в фиксированной точке. Экстремальными весами в промежуточной задаче оказались полиномиальные сплайны.
Список основных публикаций
| Оглавление |
Далее
|