МАТЕМАТИКА

Исследования сибирских математиков сосредоточены на решении фундаментальных и прикладных задач, возникающих при изучении многих классических проблем и объектов (группы, кольца, графы и др.), при рассмотрении междисциплинарных программ и проектов или на стыке смежных наук (математическая физика, математическая геофизика, математическая экономика и др.), при построении аналитических решений, обосновании математических постановок задач и доказательстве теорем существования решений.

В Институте математики им. С.Л. Соболева построена новая декартово замкнутая подкатегория категории топологических пространств. Получено описание наибольшего естественного расширения Т₀-пространств.

Решена проблема об алгоритмических размерностях конечных константных обогащений алгоритмических систем. Построен пример такой автоустойчивой системы, что алгоритмическая размерность ее любого обогащения константой равна 2.

Решены проблемы Б.И. Плоткина о геометрической эквивалентности алгебраических систем. Доказано, что понятие следствия для систем уравнений над группой G является логическим понятием тогда и только тогда, когда группа G является qw-компактной (Омский филиал Института).

Разработаны аналитические основы теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно.

Доказана спектральная жесткость многообразия отрицательной кривизны и конечномерность пространства деформаций многообразия аносовского типа. Установлена граничная жесткость поверхности без фокальных точек.

Для невыпуклых континуальных экономик смешанного типа найдены общие условия совпадения нечетких ядер и равновесных распределений. Предложен прямой метод проверки гипотезы Эджворта о совпадении ядер и равновесий в экономиках с совершенной конкуренцией, который применим как в классических моделях математической экономики, так и в их современных модификациях и обобщениях.

Найдена оценка устойчивости решения обратной задачи об определении скорости звука для уравнения акустики. В отличие от ранее известных результатов, найденная оценка использует данные лишь одного измерения (от фиксированного источника).

Описан класс термодинамически согласованных гиперболических систем законов баланса (с младшими диссипативными членами) механики сплошных сред.

Найдены приближения первого порядка и асимптотические разложения для вероятностей больших уклонений сумм случайных величин с правильно меняющимися распределениями скачков и в ряде других ситуаций.

Разработан алгоритм расчета канонических по Якубовичу устойчивых структур симплектических линейных преобразований.

Получена верхняя оценка для предписанного k-сильного ациклического хроматического числа карт на поверхностях. Ранее таких оценок не было известно даже для карт на плоскости при минимальном k = 3 в случае обычных раскрасок.

Предложена линейная аппроксимационная схема для решения задачи построения кратчайшего расписания выполнения работ системой специализированных машин.

В Институте вычислительной математики и математической геофизики построены новые методы Монте-Карло для решения нестационарных задач теории переноса излучения на основе соответствующих функций Грина и преобразования Фурье по временной переменной. Решены методические задачи оценки показателя экспоненциальной асимптотики процесса переноса с размножением и оценки временной зависимости помехи обратного рассеяния при лазерном зондировании в естественных средах.

Для эллиптических операторных уравнений первого рода в конечномерных эвклидовых пространствах предложен и обоснован новый класс экономичных итерационных методов нахождения нормального решения. Основная идея заключается в переходе от эллиптического оператора к его энергетическому расширению, которое обладает сопряженно-факторизованной структурой. Этот переход позволяет свести исходную вырожденную операторную задачу к эквивалентной системе сопряженных операторных уравнений. Для сопряженной системы удалось построить экономичные классы итерационных методов, которые не выводят их из подпространств разрешимости. Именно в этих подпространствах лежат нормальные решения сопряженных задач.

Предложены и исследованы компактные разностные схемы высокого порядка точности для многомерных диффузионно-конвективных уравнений с переменными коэффициентами. Доказана монотонность получаемых алгебраических систем для практически произвольных соотношений шагов сетки и коэффициентов исходных уравнений. Получены новые равномерные оценки погрешностей четвертого порядка разностных решений для смешанных краевых задач .

В Институте вычислительных технологий для решения задачи внутреннего оценивания множеств решений интервальных линейных систем с неотрицательными матрицами предложен полиномиально сложный алгоритм, основанный на геометрическом свойстве "монотонности конфигураций" множеств решений. Предлагаемый подход позволяет получать максимальные по включению интервальные оценки и применим для внутреннего оценивания множеств решений интервальных линейных систем с прямоугольными (не обязательно квадратными) матрицами.

В Институте динамики систем и теории управления доказана теорема существования решения в задаче минимизации интегрального функционала на решениях управляемой системы, описываемой линейным относительно фазовых переменных и их частных производных уравнением Гурса–Дарбу с ограничениями на управления, фазовые переменные и их первые частные производные. Система управляется с помощью граничных и распределенных управлений. Не предполагается, что минимизируемый функционал является выпуклым относительно управлений. Множества допустимых управлений и ограничения на фазовые переменные и их первые частные производные также являются невыпуклыми.

В Институте вычислительного моделирования построены новые каскадные и многосеточные алгоритмы решения сеточных аналогов стационарных задач математической физики, в том числе для квазилинейных уравнений с коэффициентами и правой частью, зависящими от решения. В основу положен трехслойный итерационный процесс с параметрами, получаемыми путем решения оптимизационной задачи. Теоретически доказана и экспериментально подтверждена неулучшаемая характеристика алгоритма – линейная зависимость количества арифметических операций от числа неизвестных сеточной задачи.

В Институте систем информатики разработан символический метод верификации финитной итерации над иерархическими структурами данных, объединяющий преимущества аксиоматического и функционального методов.

В Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева выполнен цикл исследований подмоделей, получаемых с использованием проективной симметрии для двумерных уравнений газовой динамики с уравнением состояния p=Sr². Найдено решение с замкнутыми инвариантными линиями тока (рис. 1.1). Оно обладает дискретной симметрией – инвариантностью относительно поворота вокруг начала координат на угол 2p/N с натуральным N. Получено решение, описывающее непрерывное течение газа с областями вакуума. Для ряда подмоделей получены интегралы Бернулли и завихренности. Среди возможных регулярных частично инвариантных подмоделей дефекта 1 найдено решение с функциональным произволом.

В том же Институте для тепловой модели двухфазной фильтрации доказано существование автомодельных решений типа бегущей и параболических волн, установлена конечная скорость их распространения; найдены условия немонотонности профиля фазовой насыщенности – показано, что перед тепловым фронтом имеется один локальный минимум насыщенности, а после него – один локальный максимум. В модели теплового пограничного слоя нелинейно-вязкой жидкости в пористой среде и в открытом потоке также установлено существование автомодельных решений с конечной скоростью распространения не только динамических, но и тепловых характеристик потока. Последнее свойство – изолированность ядра потока от притока тепла со стороны стенки – экспериментально наблюдаемый эффект при транспортировке сильновязких (слоистых) нефтей по трубопроводам.

Доказана глобальная однозначная разрешимость конвективной задачи Стефана со скачком плотности на межфазной границе для специального класса уравнений состояния. Течение в жидкой фазе считается медленным и описывается уравнениями Стокса.

Предложена новая математическая модель, описывающая процесс фазового перехода между вязкой сжимаемой теплопроводной жидкостью (газом) и твердым телом, причем на границе раздела фаз гарантируется выполнение всех основных законов сохранения. Доказана корректность (локальная по времени) соответствующей начально-краевой задачи для одномерного движения.

Получено достаточное условие существования семейств сдвиговых течений в слое жидкости, которые имеют одинаковые потоки массы, импульса и энергии и сопряжены с заданным равномерным потоком. Для течений первой спектральной моды построены приближенные решения уравнений Эйлера и доказано существование точных решений, описывающих стационарные волны типа плавного бора конечной амплитуды (рис. 1.2). В частности ставится нелинейная задача на собственные значения для уравнения Дюбрея–Жакотэна–Лонга с дополнительным интегральным соотношением, следующим из законов сохранения полного импульса. Спектральным параметром в задаче является число Фруда l. Нетривиальные решения задачи о сопряженных течениях существуют для l, близких к критическим собственным значениям l_n (рис. 1.3).

С помощью оригинальной технологии создания структур "кремний-на-изоляторе" (КНИ) учеными Института физики полупроводников получены ультратонкие, рекордные по толщине (до 3 нм) сплошные монокристаллические пленки кремния на стандартных окисленных кремниевых пластинах. Тестовые структуры обладают высокими электрофизическими характеристиками, пригодными для изготовления глубоко субмикронных полевых транзисторов. Обнаружен и исследован эффект замедления термического окисления наноструктур, открывающий возможность прецизионного изготовления квантовых электронных приборов. Разработан метод получения и с помощью электронной литографии созданы тестовые наноразмерные структуры различного назначения (рис.1.4).

Методом in situ сверхвысоковакуумной отражательной электронной микроскопии (СВВ–ОЭМ) было обнаружено явление самоорганизации островков золота вдоль эшелонов моноатомных ступеней (рис. 1.5).

Учеными Института физики им. Л. В. Киренского обнаружено колоссальное отрицательное магнитосопротивление в соединениях Fe _xMn_1–x S в интервале замещений . Максимальное его значение составило 83 % при 160 K в поле 10 кЭ и наблюдается в составе с x = 0,29 (рис. 1.6). Магнитные измерения показывают наличие в этих составах ферромагнетизма. В результате нейтронографических исследований, проведенных совместно с Институтом Пауля Шеррера (Швейцария), установлено наличие двух магнитоупорядоченных фаз: антиферромагнитной и ферромагнитной, с температурами магнитного упорядочения ~ 200  и ~ 650 K соответственно.

В этом же Институте обнаружены особенности твердотельных реакций в двухслойных пленках, состоящих из слоев реагентов, напыленных последовательно на подложки различных типов. Показано, что, кроме известного механизма протекания таких реакций через диффузию по границам зерен, в пленочных материалах можно инициировать самораспространяющийся высокотемпературный синтез (СВС). Более того, в пленках системы Al/Ge явление СВС инициируется неограниченное число раз. Эта разновидность СВС, названная множественным самораспространяющимся высокотемпературным синтезом (МСВС), во многом аналогична фазовому переходу металл – диэлектрик. Показано, что для эвтектических систем МСВС эквивалентен многократному переходу через температуру эвтектики массивных образцов (рис.1.7).

Учеными Института лазерной физики впервые разработаны принципы построения нового оптического стандарта частоты и времени с помощью высокостабильного фемтосекундного лазера – фемтосекундные оптические часы, разработана их экспериментальная схема на основе He–Ne/CH₄ -оптического стандарта частоты и высокостабильного фемтосекундного Ti:S-лазера. фемтосекундные оптические часы имеют стабильность порядка 10 ^–14 ÷ 10^–15 и в 5÷ 10 раз меньше элементов и блоков, чем традиционные оптические часы (рис. 1.8).

Совместно с учеными Института квантовой оптики Макса Планка (Гархинг, Германия) создан уникальный малогабаритный Nd:YAG-лазер с диодной накачкой на длине волны 946 нм с шириной линии излучения несколько десятков герц (рис. 1.9).

Создана принципиально новая схема измерения абсолютной частоты перехода 5 s^{2 1}S₀® 5s5p ³P₀ иона индия на длине волны 236,5 нм, позволившая повысить точность измерения на два порядка. Она основана на использовании в цепи синтеза Ti:Al₂O₃ -лазера, работающего в режиме сверхкоротких импульсов (СКИ). Схема синтеза и измерения абсолютных частот показана на рис. 1.10.

Cоздан и исследован лазер с трехзеркальным резонатором, позволяющий получать сверхузкие резонансы насыщенного поглощения с однородной шириной ~ 10 Гц.

Учеными Института автоматики и электрометрии впервые получено аналитическое выражение для контура одиночной спектральной линии при малом доплеровском уширении. В этом выражении приняты во внимание все известные физические факторы: ударное уширение, доплеровское уширение, дикковское сужение, эффект ветра, конечность времени столкновения.

В этом же Институте предложен и экспериментально реализован новый способ создания инверсии заселенностей на переходе в основное состояние атомов при оптическом возбуждении. Инверсия достигается специфическим выбором поляризации возбуждающего излучения и перемешиванием квантовых состояний атомов столкновениями с буферным газом и обеспечивает генерацию на переходе в основное состояние. Частота генерируемого излучения может быть, в частности, выше частоты возбуждающего излучения (случай преобразования частоты "вверх"). Экспериментально эффект зарегистрирован в виде сверхсветимости в окрестности D₂-линии натрия при лазерном возбуждении в резонансе с D₁ (рис. 1.11).

В Институте физики полупроводников на базе разработанных ранее многослойных лазерных структур на основе соединений GaAs, AlAs, InAs создан лазер с вертикальным резонатором (ЛВР) (рис. 1.12, а) с мировыми результатами по размерам и мощности излучения (рис. 1.12, б). Измеренный спектр отражения (сплошная линия) хорошо соответствует расчетному (штриховая линия) и содержит резонанс интерферометра Фабри–Перо вблизи 965 нм, положение которого совпадает с максимумом спектра электролюминесценции. Длина волны генерации ЛВР соответствует положению резонанса интерферометра.

В Институте автоматики и электрометрии разработан метод прямой лазерной термохимической записи в полярной системе координат уникальных синтезированных голограмм, предназначенных для контроля формы поверхности главных параболических зеркал больших современных телескопов. Запись осуществляется на пленке хрома, нанесенной на подложку из ситалла. Диаметр светового поля записанных голограмм превышает 200 мм, минимальный размер дифракционной структуры ~0,6 мкм, среднеквадратичная точность изготовления ~50 нм. Голограммы генерируют асферический волновой фронт с погрешностью, не превышающей одной двадцатой длины волны, и используются как эталон в интерферометрических измерительных системах (рис. 1.13).

На основе разработанного метода изготовлена голограмма, предназначенная для контроля главных зеркал (диаметр 8,4 м) строящегося в настоящее время в Аризоне (США) большого бинокулярного телескопа.

В оглавление

Далее