МАТЕМАТИКА

В Сибирском отделении РАН традиционно работают несколько научных школ в области проблем современной математики, включая вычислительную, математическое моделирование и методы прикладной математики.

В Институте математики им. С.Л. Соболева развита теория кратно нормированных полей с почти булевым семейством колец нормирования.

Построена автоустойчивая модель, допускающая эффективное представление с разрешимой универсальной теорией, но не имеющая вычислимого семейства Скотта ни в каком конечном обогащении константами.

Дана исчерпывающая классификация периодических групп с элементарными абелевыми централизаторами инволюций. С ее помощью доказана распознаваемость проективных специальных линейных групп размерности 2 над полями характеристики 2 по их множествам порядков элементов.

Разработана алгебраическая геометрия для классов групп близких к свободным (Омский филиал Института).

Получены аналитические условия на отображения евклидовых областей классов Соболева, при выполнении которых отображение является монотонным, сохраняющим ориентацию открытым и дискретным. Кроме того, для отображений с интегральным искажением доказано, что множество точек ветвления имеет меру нуль.

Доказана теорема единственности определения связности по данным о геодезических, соединяющих точки границы компактного риманова многообразия.

Получена характеризация мер Янга как измеримых функций со значениями в специальном компактном метрическом пространстве с метрикой, имеющей интегральное представление. Развитые на этой основе методы исследования позволили решить проблему о виде полунепрерывной снизу оболочки стандартного функционала.

Найдены приложения теорем представления несимметричных аналогов вектора Шепли к вычислению не блокируемых дележей бесконечных выпуклых игр ограниченной полиноминальной вариации. Для игр этого же класса получены условия, обеспечивающие совпадение ядра и слабого замыкания множества взвешенных значений Шепли (бесконечномерный аналог известного результата Мондерера—Самета—Шепли).

Рассмотрены новые задачи для интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра, связанные с проблемами интегральной геометрии. Получены теоремы единственности и оценки устойчивости.

Получены предельные теоремы и асимптотические разложения для распределения момента первого достижения удаляющегося уровня траекториями случайных блужданий и случайных процессов с независимыми приращениями, имеющих задерживающий экран в нуле.

Найдены асимтотически оптимальные процедуры в классической задаче о разладке в классе асимтотически однородных процедур, когда момент разладки неограниченно удаляется.

Найдены новые кодовые структуры с плотной упаковкой шаров радиуса 1. Для любого построен класс плотно упакованных систематических (n, 3)-кодов, не имеющих автоморфизмов, кроме тривиальных, а для доказано, что коды этого типа могут быть и несистематическими.

В Институте вычислительной математики и математической геофизики предложен и обоснован алгоритм разделения плоскости на непересекающиеся области конечным набором простых жордановых дуг, каждая из областей однозначно задается набором своих граничных дуг и признаком ограниченности, определяющими ее характеристическую функцию. Для областей, границы которых состоят из кривых, заданных параметрически полиномами Безье, построен алгоритм реализации регуляризованных теоретико-множественных операций, основанный на разделении плоскости их общей границей на подобласти и формировании из последних результата операции и его теоретико-множественного дополнения. Для вычисления точек пересечения граничных дуг применяется метод Ньютона, квадратичная сходимость которого доказана для случая выпуклых и монотонных кривых. Время работы алгоритма пропорционально квадрату общего числа кривых Безье, составляющих границы областей.

Получены новые импедансные граничные условия для системы Максвелла при произвольной временной зависимости. Исследован оператор Максвелла при этих граничных условиях. Получены новые уравнения для амплитуд в методе разложения вихревого поля по собственным функциям резонатора.

Разработан новый интеграционный метод определения фазовой функции (индикатрисы рассеяния) уравнения переноса излучения по значению яркости поля рассеянного излучения методом Монте-Карло.

В Институте вычислительных технологий установлено подобие групп Ли преобразований, допускаемых полным кинетическим уравнением Больцмана кинетической теории газов с произвольной и степеннόй моделями межмолекулярного взаимодействия и системой уравнений газовой динамики для произвольного и политропного уравнений состояния. На этой основе дана групповая классификация множества инвариантных решений уравнения Больцмана.

Для решения задач внешнего оценивания обобщенных множеств решений интервальных линейных систем уравнений предложен метод типа Гаусса—Зейделя, исследована его сходимость и выбор начального приближения. Для интервальных линейных систем с М-матрицами доказана сходимость метода к оптимальному интервальному решению.

В Институте вычислительного моделирования охарактеризован класс Т-групп, тесным образом связанный со свободными бернсайдовскими группами нечетного периода, большего 665, а также конечные группы в классе всех групп.

Применительно к нейронным сетям заново рассмотрен классический вопрос о представлении функций многих переменных с помощью суперпозиций и сумм функций одного переменного. Показано, что можно получить сколь угодно точное приближение любой непрерывной функции многих переменных, используя операции сложения и умножения на число, суперпозицию функций, линейные функции, а также одну произвольную непрерывную нелинейную функцию одной переменной. Для нейронных сетей полученные результаты означают: от функции активации нейрона требуется только нелинейность. Какой бы она ни была, можно для любой непрерывной функции многих переменных построить нейронную сеть, которая вычисляет ее с любой заданной точностью.

В Институте динамики систем и теории управления получены логические формы представления и вывода знаний в задаче о движущемся роботе и задаче о наблюдении с помощью телескопа планет в неполной фазе с целью планирования действий или выработки управления этими аппаратами.

В Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева дано полное академическое описание класса движений идеального газа, в которых давление зависит только от времени. Обнаружены новые эффекты, присущие таким движениям. Траектории частиц газа в них являются прямыми линиями. Характерны также коллапс плотности (обращение в бесконечность) в конечный момент времени на многообразии пониженной размерности и расслоение пространства событий. Эти слои отображаются на многообразие коллапса сингулярно, с уменьшением размерности. Характеристический коноид, отвечающий за распространение звуковых возмущений, имеет сингулярность на многообразии коллапса (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Сингулярность барохронного движения: схлопывание одной полы характеристического коноида по прямой - многообразию коллапса.

Определены условия корректности постановки задач Коши для системы кинетических уравнений, описывающей распространение волн концентрации в пузырьковых жидкостях. Найдены интегральные преобразования, приводящие эту систему к инвариантам Римана. Показано, что система кинетических уравнений допускает бесконечное число законов сохранения и обобщенных симметрий. Построены новые классы точных решений.

В институтах Отделения получен ряд новых результатов низкоразмерных систем, в которых проявляются квантовые свойства носителей заряда. Это связано, с одной стороны, с расширением возможности получения новых данных о фундаментальных свойствах твердого тела и, с другой стороны, с перспективой использования этих систем в наноэлектронике.

В Институте физики полупроводников впервые наблюдены одноэлектронные осцилляции тока в структурах (Ti/Si₃N₄) SECO, формирующихся путем разрыва металлической нанопроволоки ступенью, предварительно созданной на диэлектрической подложке. Осцилляция амплитудой 20% наблюдалась при Т = 4,2 K в структурах с размером 150 нм. Этот результат является существенным шагом в создании одноэлектронного транзистора (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Одноэлектронные осцилляции тока от напряжения на управляющем электроде Ug в одноэлектронном транзисторе.

Создан и исследован квантовый кольцевой интерферометр, имеющий эффективный диаметр 0,3 мкм. Столь малый размер получен впервые благодаря использованию гетеропереходов AlGaAs/GaAs с высокоподвижным двумерным электронным газом, имеющим высокую концентрацию электронов. Этот размер позволил получить амплитуду осцилляций Ааронова—Бома около 15% при Т = 1,5 K. Ранее такая амплитуда осцилляций достигалась только при Т<0,3 K. Экспериментально и теоретически показано, что в данной структуре реализуется одноэлектронный режим управления проводимостью.

Разработаны и синтезированы многослойные полупроводниковые структуры на основе соединений GaAs, AlAs, InAs, предназначенные для создания лазерных диодов с вертикальным резонатором с рабочей длиной волны λ = 0,98 мкм. На основе этих структур были изготовлены тестовые лазерные диоды полосковой геометрии и исследованы генерационные характеристики. В импульсном режиме получены мощность генерации 1 вт, внутренняя квантовая эффективность 0,9, а внутренние потери не превышали 30 см^–1 (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Спектры излучения лазера, содержащего 8 нм квантовые ямы In0,2 Ca0,8 As и зеркальные (четвертьволновые брэгговские) эмиттерные области р- и n-типа легирования.

Созданная в Институте фотоприемная матрица размерностью 128 x 128 элементов состоит из вертикальных фоторезисторов высотой 4 мкм. Фоточувствительным слоем является периодическая структура из 50 квантовых ям GaAs:Si толщиной 30—50 ангстрем, разделенных туннельно толстыми (500 ангстрем) барьерами Al_xGa_1–xAs.
Спектральная зависимость фоточувствительности определяется разностью энергий между двумя уровнями квантования в слое GaAs. Соответствующим выбором толщины квантовых ям и состава х максимум фоточувствительности варьируется в области 7—25 мкм. Во внешнем электрическом поле фотоэлектроны, возбужденные на верхний уровень, расположенный вблизи верха ямы, создают фототок. Поскольку правилами отбора разрешено поглощение фотонов с поляризацией, перпендикулярной слоям, то на поверхности каждого элемента изготовлена двумерная дифракционная решетка в виде шахматной доски, изменяющая направление волнового вектора падающего света на 90^о. Для того чтобы исключить оптическую связь между отдельными элементами матрицы и увеличить плотность ИК-излучения внутри фотоприемного элемента, подложка GaAs стравливалась по всей площади до толщины < 1 мкм. Для нормальной рабочей температуры 65 K температурное разрешение NETD такой матрицы, ограниченное темновым током, в спектральном диапазоне 8—8,5 мкм составляет 0,02—0,04 K (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Электронно-микроскопическое изображение поперечного среза фоточувствительной структуры, состоящей из 50 периодов GaAs/AlGaAs.

Учеными Института физики им. Л.В. Киренского теоретически показано, что сосуществование сильных электронных корреляций и дальнего магнитного порядка ответственно за аномально сильное изменение амплитуды осцилляций в эффекте де Гааза—ван Альфена в окрестности фазового спин-флип-перехода, экспериментально наблюдавшееся в тяжелофермионном антиферромагнетике CeCu₂Si₂ (рис. 1.5). Проведенные численные расчеты при параметрах модели, соответствующих экспериментальным данным для СеСu₂Si₂, показали удовлетворительное количественное согласие теоретической зависимости осциллирующей намагниченности с экспериментальной кривой.

Рис. 1.5. Возрастание осцилляций де Гааза-ван Альфена за счет сильных электронных корреляций.

В Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе предложен и апробирован новый подход к компьютерному моделированию сложных атомно-молекулярных систем. Он состоит в том, что система запирается в определенной области поверхности потенциальной энергии (отвечающей либо индивидуальной структуре, либо ряду смежных структур): как только молекулярно-динамическая траектория системы подходит к границе области, она возвращается в данную область путем специальной процедуры реверса. Это позволяет радикально сократить время моделирования, вплоть до нескольких порядков величины для сложных превращений, в которые вовлечены несколько структур. Подход апробирован при исследовании кластеров благородных газов и углерода. Получена новая информация, которую трудно получить существующими методами: вычислены "термодинамические" характеристики и плотности состояний отдельных изомеров, выявлена роль пермутационных изомеров в процессах самодиффузии в кластерах, рассчитаны скорости медленных каналов изомеризации. Например, вычислена скорость сложного перехода "линейка" — "кольцо" — "двойное кольцо" — "тройное кольцо" в С₁₅. Область применения — сложные физико-химические системы типа кластеров и биомолекул. Для практики наибольший интерес может представлять возможность оценки маловероятных событий в таких системах (в перспективе, например, прогноз побочных эффектов в фармакологии) (рис. 1.6).

В Институте сенсорной микроэлектроники (совместно с ИФП) разработаны методы (способы) управления образованием взаимоориентированных нанокристаллических зародышей (размером 2—3 нм) в аморфных пленках на стеклянных подложках при нестационарных термических воздействиях излучением эксимерных лазеров наносекундной длительности. Получены совершенные субмикронные слои поликристаллического кремния на стекле для изготовления активных матриц управления жидкокристаллическими дисплеями и рентгеновских матриц для медицинских целей, что нашло применение в НИИ "Платан" (г.Москва) (рис. 1.7).

В конструкторско-технологическом институте прикладной микроэлектроники разработаны принципы построения многоспектральных оптико-электронных приборов с единым информационным полем и разномасштабным изображением объектов наблюдения в различных спектральных диапазонах. Разработана и успешно испытана малогабаритная ручная тепловизионная камера, комплексированная с визирным каналом, обеспечивающая естественное восприятие наблюдаемых объектов в видимой области спектра и высокую информативность в ИК-диапазоне (минимальная разрешаемая разность температур 0,5 K). Прибор по своим характеристикам не уступает зарубежным аналогам (рис. 1.8).

Создана низкоуровневая телевизионная камера "Цербер-13", обеспечивающая при минимальной освещенности на объекте 10^–5 лк дальность обнаружения объектов 1,5 км и распознавания номеров транспортных средств 50—100 м. Проведены успешные натурные испытания серийно ориентированного образца. Результаты испытаний показывают, что НТВК "Цербер-13" по своим характеристикам не уступает зарубежным приборам данного класса и не имеет аналогов в России (рис. 1.9).

Учеными Института автоматики и электрометрии в развитие теории 3- и 4-уровневых систем в газах и плазме получены выражения для формы провала Беннета и кривой насыщения для слабых столкновений в сильном поле. Показано, что квадрат ширины провала равен сумме квадратов полевой и кулоновской ширин; найден универсальный профиль резонанса в спектре, соответствующего расширенной области резонансных скоростей вблизи простой точки поворота; установлено, что диффузия приводит к уширению и расталкиванию компонент дублета Аутлера—Таунса. В двойной λ-схеме с чередующимися сильными и слабыми полями спектр нелинейной восприимчивости может иметь больше пиков, чем для неподвижных атомов. Полученные результаты позволяют интерпретировать ряд экспериментов по нелинейной спектроскопии ионов, атомов и молекул и предложить методы повышения эффективности преобразования частоты света (рис. 1.10).

Рис. 1.10. Частотные ветки 4-уровневой системы на плоскости частота-скорость (точкам поворота отвечают узкие нелинейные резонансы в спектре; при каждой скорости имеется два пика, а после усреднения по скоростям появляется три; на врезке показан спектр).

Предсказано и экспериментально подтверждено, что контур спектральной линии резонансного рентгеновского комбинационного рассеяния молекул состоит из двух качественно различных интерферирующих спектральных компонент (с разными законами дисперсии) — широкой молекулярной "подкладки" и узкого пика (или провала), ответственного за рассеяние на отдельном атоме. Этот результат открывает новые возможности в исследовании структуры молекул.

Учеными Института лазерной физики впервые измерена с точностью 3,2x 10¹¹ абсолютная частота запрещенного перехода 5s^{2 1}S₀ ® 5s 5p ³P₀ одиночного иона индия, захваченного в ловушку. Измерения выполнены совместно в рамках международного проекта с Институтом квантовой оптики Макса Планка (Гархинг, Германия). Для проведения измерений осуществлен синтез частоты от двух оптических стандартов He—Ne/CH₄—лазерного стандарта частоты и Nd:YAG/¹²⁷I₂—лазерного стандарта частоты, разработанных в Институте лазерной физики. Частота запрещенного перехода 5s^{2 1}S₀® 5s 5p ³P₀ иона индия получилась равной 1 267 402 452 910(40) кГц.

В этом же Институте впервые в водных растворах глобулярной ДНК с помощью прецизионного лазерного спектрометра с разрешением менее 0,1 Гц обнаружены две формы существования макромолекул в зависимости от того, какой фазой воды — аморфной или структурированной — они окружены. Часть макромолекул, находящаяся в неупорядоченной воде, движется в растворе как независимые броуновские частицы. Другая часть может терять независимость своего движения за счет "вмораживания" в трехмерную сеть водородных связей структурированной воды. В этом случае макромолекулы могут перемещаться только вместе с ячейкой структурированной воды, минимальный устойчивый пространственный раз мер которой оценивается величиной R~1мкм (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Спектральная плотность мощности сигнала рассеяния, длительность записи 48 с, частотный сдвиг 10 Гц: а - контрольный сигнал рассеяния на воде, б - сигнал рассеяния на суспензии плазмид ДНК. Сигнал на частоте 10 Гц в обоих случаях соответствует статическому рассеянию. Ширина узкой части линии рассеяния на плазмидах соответствует эффективному размеру броуновской частицы R ~ 1 мкм.

Впервые экспериментально осуществлена перезарядка потока ионов на нейтральных атомах при концентрации ~10¹⁶ см^–3 благодаря применению газового облака, получаемого лазерным испарением мишени. Достигнута рекордная эффективность перезарядной накачки ультрафиолетовых
и рентгеновских переходов ионов 10%, что на порядок выше ранее полученных результатов и близко к максимально возможному уровню 25% (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Концентрации нейтралов газового облака и ионов С⁺⁴, измеренные по отдельности — сплошные линии. Интенсивность перезарядного взаимодействия, измеренная по свечению линии 580,1 нм перехода 3р—3s иона С⁺³ — крестики. Пунктирная линия — расчет по модели перезарядного взаимодействия.

В Институте автоматики и электрометрии реализована технология изготовления высокоэффективных дифракционных элементов методом полутоновой фотолитографии, предусматривающая запись полутоновых микроизображений в тонких пленках аморфного кремния и в поверхностно модифицированных LDW-стеклах и последующий их перенос в рельеф подложки путем ионного травления. Получены образцы полутоновых фотошаблонов тестовых дифракционных структур с пространственным разрешением до 1000 лин/мм. Достигнуто воспроизводимое изготовление кварцевых дифракционных элементов с минимальным периодом зон 8 мкм и дифракционной эффективностью 80—90%. В результате исследования оптических характеристик тонких аморфных пленок кремния и LDW-стекол (LDW-glass, Canyon Materials Inc., USA) под действием сфокусированного лазерного излучения (в диапазоне изменения времени экспозиции от 10^–1 до 10^–7с и плотности мощности от 10⁵ до 10⁷ Вт/см²), а также изучения особенностей их экспонирования при импульсном и непрерывном излучениях определен тепловой механизм изменения коэффициента пропускания стекол и пленок в поверхностном слое; экспериментально получено воспроизводимое изменение коэффициента пропускания слоя в диапазоне от 0,05 до 0,75 (рис. 1.13).

Разработана и исследована математическая модель восприятия данных дистанционного зондирования поверхности Земли, получаемых с сети аэрокосмических носителей в нескольких спектральных диапазонах. В рамках модели проведены исследования по созданию эффективных математических средств для оперативного решения задач аэрокосмического стереовидения. Созданы высокоточные быстродействующие алгоритмы оценивания геометрических параметров системы наблюдения и на их базе — программно-аппаратные комплексы реконструкции трехмерных поверхностей. Теоретически и экспериментально получены оценки точности восстановления в зависимости от внутренних и внешних параметров системы регистрации. Разработаны новые методы анализа информации при дальнем и сверхдальнем космическом стереовидении (углы обзора до 1 град. при дальности от единиц до десятков тысяч километров). На основе этих методов реализован программно-аппаратный комплекс для совместной параллельно-групповой обработки нескольких аэрокосмических стереопроекций, который обеспечил эффективный анализ как модельных, так и реальных данных при различных условиях и геометрии наблюдения (рис. 1.14).

В Институте автоматики и электрометрии совместно с КТИ НП проведен цикл оптических исследований (люминесценции, оптического поглощения, комбинированного рассеяния света) коллекции якутских алмазов, сопутствующих пород и минералов (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Спектральная зависимость комбинационного рассеяния света алмазом (1) и люминесценция сопутствующих минералов (2-6).

В результате установлена высокая эффективность применения технологии выборки алмазов из сопутствующей породы с использованием метода комбинационного рассеяния лазерного излучения. Данная новая технология позволяет идентифицировать алмазы практически всех видов и определять с большой точностью местоположение алмазов в потоке руды, что на несколько порядков повышает уровень обогащения и существенно уменьшает стоимость процесса сепарации алмазов по сравнению с используемой ныне рентгенолюминесцентной технологией.

Рис. 1.16. Максимальная частота следования импульсов излучения лазеров на парах меди и бромида меди как функция диаметра активной среды.

В Институте оптики атмосферы установлено, что перегрев активной среды и высокая степень ионизации рабочих частиц препятствуют повышению частоты следования лазеров на самоограниченных переходах. Впервые для лазеров на парах металлов удалось снижением удельной мощности накачки реализовать частоту следования импульсов генерации 300 кГц (рис. 1.16).

Рис. 1.17. Спектр поглощения метана (линия R(7) полосы 2ν₃, λ = 1,65 мкм), зарегистрированного диодным лазером комнатной температуры с выходной мощностью 0,2 мВт стандартным и фотоакустическим методами.

В рамках научно-технического сотрудничества с университетом г.Реймса (Франция) создан и испытан фотоакустический спектрометр с повышенной чувствительностью и компенсацией акустических шумов, что обеспечивает детектирование фоновых концентраций парникового газа метана. Резонансная ячейка Гельмгольца с симметричным расположением измерительного и опорного каналов, в которой происходит компенсация акустических шумов, обеспечивает возможность уверенной регистрации спектров поглощения и малых концентраций газов. Созданная резонансная фотоакустическая ячейка применена в малогабаритном анализаторе метана с диодным лазером комнатной температуры (рис. 1.17).

В оглавление

Далее