Основные результаты, математика

Основные результаты исследований по приоритетным направлениям развития науки и техники в 1995г.

Несмотря на все трудности научные исследования институтов Сибирского отделения РАН охватывают широкий спектр проблем, перечень которых, с одной стороны, отражает современные тенденции развития мировой науки, с другой специфику регионов, где расположены научные центры Отделения. Большинство институтов Отделения в 1995 году сохраняло творческую активность, что видно из представленных в Президиум СО РАН и специализированные отделения РАН отчетов, а также по перечню публикаций в ведущих отечественных и зарубежных изданиях. Отчеты институтов детально рассмотрены объединенными учеными советами СО РАН по направлениям наук, их полные тексты хранятся в институтах и группах по наукам аппарата Президиума СО РАН. Краткие выписки по основным результатам традиционно будут опубликованы в сводном отчете Российской академии наук. Для данного сводного отчета отбор результатов определялся не только их важностью, но и доступностью изложения для широкого круга участников Общего собрания СО РАН.

Фундаментальные исследования в области математики и ее приложений.

Многие специалисты широко применяют для решения разнообразных задач модели движения вязкой сжимаемой жидкости, основанные на использовании уравнений Навье-Стокса. Сложность этих уравнений привела к появлению массы приближенных методов их решения. Но ни один из этих методов так и не получил должного обоснования, несмотря на усилия многих крупных математиков разных стран. Только совсем недавно в этом направлении наметился прорыв. Коллективу ученых из Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева удалось на основе более детального учета взаимодействия факторов вязкости и сжимаемости доказать теоремы существования решения в целом для двумерных уравнений Навье-Стокса применительно к сжимаемой баротропной жидкости при естественных предположениях о зависимости коэффициентов вязкости (объемной и сдвиговой) от плотности.
В Институте вычислительных технологий сконструирован адаптивный проекционно-сеточный метод решения двумерных эллиптических краевых задач с малыми параметрами при старших производных. Метод адаптируется как к особенностям решения задач типа внутренних и/или пограничных слоев, так и к особенностям области, для которой ищется приближенное численное решение. Полученный метод обладает высокой эффективностью и надежностью и позволяет быстро и достаточно точно вычислять приближенные решения жестких краевых задач.
Для решения на суперЭВМ сеточных аппроксимаций задач математической физики с громадным числом неизвестных в мировой вычислительной практике интенсивно используются многосеточные итерационные методы. Открытие этих методов и первое обоснование рекордных характеристик эффективности их двух классических разновидностей принадлежит российским ученым. Учеными Красноярского вычислительного центра в монографии, изданной на русском и английском языках, подведен итог исследований по теоретическому обоснованию этих методов. Исследования позволили также обосновать третью, более простую каскадную разновидность многосеточных методов, но обладающую такой же рекордной эффективностью.
В Новосибирском вычислительном центре для изучения глобальной и региональной климатической изменчивости разработан комплекс взаимодействующих моделей циркуляции атмосферы различных пространственных масштабов, который включает в себя глобальную модель земного шара и региональную модель атмосферы, детализированную для Сибири с уточнением гидрологического цикла. Гидрологический цикл включает в себя учет вегетации, дренажа и стока влаги в почве, а также учет стока рек. Эта модель позволила смоделировать изменчивость осадков и показать, что сезонное увеличение осадков происходит в зимнем полушарии, что соответствует данным наблюдений. Полученные результаты позволили провести оценки стоков сибирских рек, что является важным при исследовании изменений ледовитости Арктического бассейна и связанных с этим долгопериодных климатических изменений.
В Институте математики на базе методов анализа символьных последовательностей разработаны алгоритмы автоматического выделения элементарных структурных единиц мелодий древнерусских песнопений, записанных в так называемой "знаменной" форме, что открывает новые возможности для дешифровки и перевода в нотно- линейную запись еще не расшифрованных певческих книг XII-XVII веков.
Полученные результаты относятся больше к области приложений математики. Они вряд ли были бы возможны без широкого развития в Отделении фундаментальных исследований. В 1995 году доказан ряд основополагающих теорем существования единственности и устойчивости решений, разрешимости классов задач математической логики, алгебры, геометрии (ИМ, ИГиЛ, ВЦН, ВЦК, ИИТПМ, ИрВЦ, ИВТ, ИТПМ).
В частности, в Институте математики им. С.Л.Соболева:

доказана разрешимость элементарной теории тотальных p- адических алгебраических чисел;
получены теоремы единственности восстановления формы выпуклых и обозримых компактных тел в евклидовых пространствах по формам их проекций на двумерные или трехмерные плоскости;
построены основы теории квазирегулярных отображений нескольких пространственных переменных. Для таких отображений установлены основные теоретико-функциональные свойства и доказаны теоремы устойчивости, обобщающие теоремы Лаврентьева-Белинского-Решетняка об устойчивости в теореме Лиувилля;
разработан критерий расслоения спектра многомерных линейных операторов, обеспечивающий возможность устойчивого выделения инвариантных подпространств малой размерности;
получены неулучшаемые оценки точности пуассоновской аппроксимации для процесса последовательных сумм независимых случайных элементов в произвольном банаховом пространстве. В качестве следствия получены новые оценки пуассоновской аппроксимации многомерных эмпирических функций распределения и некоторых более общих случайных полей. При этом усиливаются недавние результаты в этой области Л.Хорвата, П.Майора, Х.Аделя и ряда других специалистов.

В Иркутском вычислительном центре:

доказаны теоремы существования L_p-непрерывных экстремальных селекторов многозначных отображений с выпуклыми разложимыми значениями. Доказано существование экстремальных решений некоторых классов эволюционных включений;
найдено преобразование решений канонических уравнений Гамильтона в решения уравнений динамической системы, определяемой скобкой Ли-Пуассона. В отличие от известных при этом на размерность не накладывается никаких ограничений;
разработана методология построения функций Ляпунова из дифференциальных следствий уравнений движения. На этом пути доказаны новые теоремы устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости неконсервативных систем, обобщающие известные результаты отечественных и зарубежных авторов.

В Новосибирском вычислительном центре:
Рассмотрены обратные задачи для сложных систем дифференциальных уравнений и вопросы минимизации комплексных целевых функционалов, оптимальным образом учитывающих свойства дополнительности и расширительности и конкретные типы связей между коэффициентами и искомыми параметрами рассматриваемых задач. Исследованы вопросы единственности решения обратной задачи определения латеральной неоднородности, помещенной в вертикально-неоднородную вмещающую среду заданного строения для систем многократного перекрытия. Решена двумерная обратная задача электроразведки на основе использования оптимизационного подхода. Рассматривался случай частотного зондирования анизотропных сред. Изучены теоретически и численно вопросы существования, единственности и устойчивости точки минимума целевого функционала специального вида. Написаны пакеты программ и проведены численные эксперименты, которые показали эффективность применения оптимизационного подхода для такого рода задач.
В Институте информационных технологий и прикладной математики доказан аналог теоремы Гильберта о базисе для широкого класса, сформулированы понятия координатной группы, доказаны аналоги теоремы Гильберта о нулях для широкого класса систем уравнений над свободной группой.

В оглавление. Далее.