МАТЕМАТИКА

В Институте математики им. С.Л. Соболева для ассоциативных конформных алгебр построена теория базисов Гребнера – Ширшова, основанная на доказанной лемме о композиции-Diamond для этих алгебр.

Доказано, что в многообразии групп монотонных преобразований линейно упорядоченного множества имеется наибольшее собственное подмногообразие, и указаны тождества, задающие это подмногообразие.

Получено исчерпывающее описание групп, содержащих элементы всех порядков, не превосходящих 5, и не содержащих элементов других порядков; доказано, в частности, что эти группы локально конечны.

Построено расширение поля рациональных чисел, сочетающее в себе достоинства всех полей вещественных и p-адических чисел, имеющее разрешимую элементарную теорию и удовлетворяющее локально-глобальному принципу Хассе. Найдены легко применимые достаточные условия, при которых арифметический локально-глобальный принцип следует из геометрического.

Описана структура класса расширений минимальной логики с точностью до негативной эквивалентности. Установлено определение отрицания через унарный оператор абсурдности. Показано, что в ряде традиционных систем паранепротиворечивых логик, таких как логика Батенса CluN, логика Сэта P₁, логика Да Косты C₁, отрицание может быть определено на основании этого метода.

Дано доказательство классической гипотезы Каратеодори об омбилических точках аналитической поверхности.

Построен пример интегрируемой системы (геодезического потока на компактном аналитическом многообразии), которая имеет положительную топологическую энтропию.

Получены описания класса трехмерных многообразий, циклически накрывающих трехмерную сферу, разветвленно над двухмостовыми узлами, через хирургии Дэна на семействе зацеплений и через двулистные разветвленные накрытия сферы, обобщающие подход Такахаши. В качестве следствия найдены циклические представления фундаментальных групп таких многообразий.

В задаче определения слоистой структуры дна доказано, что при определении параметров слоистой структуры для заданного времени T может быть указано количество слоев и однозначно определены их упругие параметры.

Дан способ восстановления симметрического тензорного поля с точностью до дивергентного слагаемого в аффинном пространстве, если известно его лучевое преобразование для всех прямых, пересекающих данную кривую.

Доказана единственность определения потенциала стационарного уравнения Шредингера по частичному отображению Дирихле-Неймана.

Изучена возникающая в теории синхронизации резонаторов задача для параболического уравнения с малым параметром при старших производных по части пространственных переменных. Получены равномерные по малому параметру оценки решения в сильных нормах и обоснован предельный переход.

Получено решение проблемы П.П. Белинского о топологических вложениях, сохраняющих конформные модули, при минимальных требованиях регулярности.

В Институте вычислительных технологий построено медленное многообразие для уравнений мелкой воды на f-плоскости. Это построение основано на исключении нерезонансного члена в уравнении для быстрых движений, что позволяет выделить формальное инвариантное многообразие. Доказана теорема, позволяющая строить нормальные формы Пуанкаре для систем уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, главная часть которых есть система обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящая от пространственных переменных как от параметров. Найдена нормальная форма Пуанкаре для уравнений мелкой воды в длинноволновом неоднородном приближении и на b-плоскости в предположении слабой нелинейности. На примере нелинейного уравнения Шредингера с периодическими временными коэффициентами построена нормальная мода Пуанкаре, которая совпадает в главном порядке с нелинейным уравнением Шредингера с постоянными коэффициентами.

В Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева разработан новый метод для отыскания периодических решений бесконечномерных гамильтоновых систем, возникающих в задачах гидродинамики. При помощи этого метода доказана разрешимость задачи о периодических по времени безвихревых стоячих волнах на поверхности слоя идеальной жидкости.

В том же Институте построены базисы дифференциальных инвариантов групп Евклида и Галилея для их кинематического представления в пространстве независимых переменных и скоростей. Найдена конечная система образующих базиса и описана алгебра операторов инвариантного дифференцирования. Полученный результат является принципиальным для полного описания математических моделей механики континуума, в которой группы Евклида и Галилея являются фундаментальными группами симметрии.

В том же Институте впервые уравнения квазистационарного приближения в задаче о движении изолированного объема вязкой несжимаемой капиллярной жидкости выведены из точных уравнений с помощью разложения по малому параметру квазистационарности, равному отношению стоксова времени к капиллярному. Квазистационарное приближение широко используется в задачах со свободной границей, изучаемых в механике сплошной среды. Оно основано на отбрасывании инерционных членов в уравнении импульса, что существенно упрощает решение этих задач. Обоснование подобной процедуры до сих пор отсутствовало. Такое обоснование выполнено в классической задаче гидродинамики о движении конечной массы вязкой капиллярной жидкости (совместно с Петербургским отделением Математического института им. В.А. Стеклова РАН).

В Институте вычислительного моделирования создан общий метод вывода диссипативных уравнений с короткой памятью из микроописания для консервативных систем, являющийся прямым обобщением подхода Т. и П. Эрэнфестов. К достоинствам метода относится простота и применимость к нелинейному микроописанию (например, к динамике частиц в самосогласованном поле). Доказана диссипативность получаемых уравнений. Построено семейство точных решений моментных уравнений типа Грэда. Они позволяют количественно исследовать гидродинамику за пределами приближения Навье-Стокса. Решения построены методом точного суммирования рядов Чепмена-Энскога. Решена проблема устойчивости методов решеточного Больцмановского газа, предназначенных для решения задач механики сплошной среды. Создан обобщенный термодинамический подход к синтезу решеточных Больцмановских алгоритмов.

В Институте математики им. С.Л. Соболева решена задача о больших уклонениях частично однородных в положительном квадранте цепей Маркова. Найдено полное описание точной асимптотики вероятности попадания в произвольное удаленное множество при выполнении условия Крамера. Одновременно установлено, что подобного полного описания в трехмерном случае не существует.

В Институте вычислительного моделирования исследованы непараметрические оценки функционалов от семейства регрессий, построенных относительно некоторой системы опорных точек из экспериментальных данных. Установлено, что их асимптотические свойства в основном определяются законом распределения и количеством опорных точек и не зависят от вида регрессий. Даны приложения предложенных непараметрических моделей в теории классификации и теории случайных процессов. Полученные результаты обобщают традиционные методы локальных аппроксимаций, основанные на оценках плотности вероятности типа Розенблатта-Парзена.

В Институте математики им. С.Л. Соболева найдены достаточные условия, гарантирующие положительность классических полиномиальных сплайнов максимальной гладкости, интерполирующих на равномерной сетке положительную функцию.

В Омском филиале этого же Института разработан метод редукции трехточечных разностных схем на сетках с полубесконечным числом узлов к разностным схемам на сетках с конечным числом узлов.

В Институте вычислительной математики и математической геофизики для решения записанного в сопряженной форме стационарного диффузионного уравнения с вырождающимся на границе области конвективным членом построены новые алгоритмы метода Монте-Карло, связанные с процессом "блуждания" по сферам и в шарах. Для этого осуществлен переход к эквивалентной системе интегральных уравнений относительно решения исходной задачи и его производной вдоль направления скорости. Получены условия сходимости ряда Неймана и конечности дисперсии соответствующей оценки метода Монте-Карло. Для случая общей конвекции предложен комбинированный алгоритм с прямым моделированием диффузии в пограничной полосе.

В Институте динамики систем и теории управления предложена логико-динамическая модель динамики процессов в асинхронных цифровых приборах в форме гибридной (логико-интегро-операторной) системы уравнений, учитывающей инерционность срабатывания элементов (рис. 1.1). Модель является более адекватной, чем модель в форме автоматных сетей, и менее сложной для исследования, чем модель в форме уравнений математической физики. Доказаны теоремы существования, неограниченной продолжимости и правосторонней единственности решений. Для систем, у которых функция, определяющая задержки для каждого элемента, зависит только от состояния самого элемента, получена итерационная процедура нахождения решений, сходящаяся за конечное число шагов.

Создана качественная теория анализа динамических свойств переключательных процессов: развит метод сравнения как строгий метод анализа разнообразных динамических свойств этой модели. Введено понятие квазимонотонности для таких систем и доказан аналог теоремы о дифференциальных неравенствах. Изучено свойство достижимости целевых состояний. Получена теорема сравнения для этого свойства, разработан алгоритм построения функций сравнения и системы сравнения, выделен класс систем, для которых теорема сравнения дает необходимые и достаточные условия. Для систем сравнения с постоянными задержками выписаны условия в форме линейных неравенств на задержки, обеспечивающие максимально возможную начальную область, из которой траектории достигают целевого множества.

Учеными Института физики полупроводников обнаружен новый тип собственных колебаний двумерной электронной плазмы – спин-плазменные поляритоны. Эти колебания вызваны тем, что постоянное электрическое поле, наложенное на двумерный электронный газ в его плоскости, вызывает спиновую поляризацию электронов за счет специфического для двумерных систем спин-орбитального взаимодействия и приводит к связи спиновых переходов с плазменными волнами (рис. 1.2).

Учеными Института физики им. Л.В. Киренского развит обобщенный метод сильной связи для расчета электронной зонной структуры сильнокоррелированных систем. Рассчитана эволюция зонной структуры с ростом концентрации дырок от антиферромагнитного диэлектрика до оптимально легированного парамагнитного металла (рис.1.3). Получен эффективный гамильтониан синглет-триплетной t-J-модели, отражающий специфику электронной структуры слоистых купратов.

Рис. 1.3. Результаты расчета изменения зонной структуры E(k) в зависимости от концентрации допируницей примеси.		Рис. 1.4. Сравнение концентрационных зависимостей критической температуры Tc (в °К) от плотности носителей заряда n0 для p (сплошные кривые) и d (пунктирные кривые) каналов спаривания. lp = I/t, ld = (2J-I)/t) – нормированные константы связи.

В этом же Институте для анализа магнитных механизмов сверхпроводимости предложена t-J-I-модель, где t – интеграл туннелирования электронов, J – параметр антиферромагнитного суперобмена, I – параметр прямого ферромагнитного обмена. Показано, что причиной высоких температур перехода в сверхпроводящее состояние T_c в оксидах меди и малых T_c в рутенате Cr₂RuO₄ при одинаковых значениях взаимодействия является различная симметрия параметра порядка (рис. 1.4). В t-J-I-модели показана возможность сосуществования сверхпроводимости и ферромагнетизма в сверхрешетке RuSr₂GdCu₂O₈.

Учеными Института физики полупроводников (ИФП) разработана новейшая технология выращивания методом молекулярно-лучевой эпитаксии (МЛЭ) на подложках из арсенида галлия гетероэпитаксиальных структур (ГЭС) кадмий-ртуть-теллур (КРТ), не уступающих по фотоэлектрическим свойствам объемным кристаллам КРТ, но превосходящих их по технологичности изготовления фотоприемников и обеспечивающих изготовление многоэлементных фотоприемников с параметрами, близкими к предельным (рис. 1.5).

Впервые в России учеными ИФП и Конструкторско-технологического института прикладной микроэлектроники изготовлены макетные образцы слабоохлаждаемых тепловизионных модулей на основе матричных 128ґ128 фотоприемников на эпитаксиальных слоях КРТ с термоэлектрическим охладителем (рабочая температура 210 ÷ 220 K) с длинноволновым краем фоточувствительности 4,3 и 4,6 мкм (табл. 1.1). Разработаны и изготовлены КРТ фотоприемные линейки размерностью 2ґ288 элементов (табл. 1.2).

Т а б л и ц а 1.1

Т а б л и ц а 1.2

В Институте физики полупроводников созданы и исследованы латеральные кремниевые полевые нанотранзисторы на сверхтонких монокристаллических пленках кремния на изоляторе (КНИ). Разработана технология электронной литографии и плазменного травления кремния и создан работоспособный планарный полевой транзистор с расщепленным затвором (in-plane gate field-effect transistor IPGFET) на КНИ с минимальными размерами элементов до 40 нм при толщине монокристаллических пленок кремния до 50 нм (рис. 1.6).

В Институте автоматики и электрометрии в результате исследований фоторефрактивных и фотогальванических явлений в сегнетоэлектриках обнаружены и объяснены эффекты фотоиндуцированного отражения и просветления кристаллов. Это позволило разработать и экспериментально реализовать новую технологию создания на кристаллах ниобата лития узкополосных перестраиваемых фильтров с характеристиками: область спектра 500–800 нм; полоса пропускания Dl ≤ 0,01 нм; область перестройки » 10 нм; подавление фона » 10³ эффективность использования света до 70 % (рис. 1.7).

В Институте лазерной физики впервые созданы малогабаритные фемтосекундные оптические часы, основанные на применении высокостабильных фемтосекундных импульсов. Получены высокостабильные в пространстве и времени фемтосекундные импульсы со стабильностью межмодовых биений ~10^-14 при t = 100 с (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Блок-схема малогабаритных оптических часов, ОСЧ – оптический стандарт частоты, ФД – фотодетектор, НЭ – нелинейный элемент, НСЧ – низкочастотный синтезатор частоты.		Рис. 1.9. Схематичное изображение общего случая винтовой бифуркации кровеносного сосуда: а – общий вид (М – материнский кровеносный сосуд, D1 и D2 – дочерние ветви); б – ортогональная проекция (F^(1) и F^(2) – силы, создающие закручивающий момент относительно оси материнского канала).

Учеными Института лазерной физики, Института теоретической и прикладной механики, Института цитологии и генетики совместно с учеными Сибирского отделения академии медицинских наук при теоретических и экспериментальных исследованиях установлена неизвестная ранее математическая связь между диаметрами сосудов, углами их ветвления и тремя парами вращательной и поступательной скоростей кровотока. Она обусловлена инвариантностью массового расхода, динамического давления, а также потоков вращательного и поступательного количества движения крови (рис. 1.9).

Учеными Института автоматики и электрометрии обнаружен резкий пик генерируемой мощности в центре перестроечной кривой антистоксова комбинационного лазера в L-схеме иона аргона с долгоживущими стартовым 3d' и конечным 4s' уровнями вместо ожидаемого провала, ранее наблюдавшегося в аналогичных атомарных системах (рис. 1.10). Важное практическое значение эффекта состоит в увеличении мощности комбинационного ионного лазера до 2 раз.

В этом же Институте построена теория формирования ультракоротких импульсов света в лазерах с показателем преломления и потерями внутрирезонаторных элементов, нелинейно зависящими от интенсивности излучения. Обнаружены устойчивые многоимпульсные режимы генерации. Показано, что зависимость числа импульсов от накачки для устанавливающихся режимов носит гистерезисный характер, а число импульсов в устанавливающемся режиме зависит от начальных условий переходного процесса (рис. 1.11).

Учеными Института оптики атмосферы впервые показано, что спектральный обмен между перекрывающимися мультиплетными линиями может многократно увеличить их сужение. Обнаружено, что столкновительное сужение и интерференция линий приводят к нелинейной зависимости сдвига линий от давления с возможным изменением его знака. Предложен способ экспериментального определения полного сечения и углов рассеяния и вклада дифракции молекул в это сечение и константы столкновительного уширения. Он основан на измерении столкновительной ширины линии g зависимости ширины d неоднородно уширенных линий и нелинейных резонансов от давления уширяющего газа (рис. 1.12).

Учеными СКТБ "Наука" совместно с учеными отдела молекулярной электроники КНЦ СО РАН предсказан и экспериментально реализован эффект интерференционного гашения монохроматического излучения, прямо проходящего через полимерную пленку с капсулированным ансамблем монослойно упорядоченных биполярных капель нематика (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Расчетная и экспериментальная зависимости светопропускания Т (%) монослойной пленки капсулированного полимером нематического жидкого кристалла от приложенного напряжения, нормированного на пороговое поле.		Рис. 1.14. Мощность генерации аргонового лазера в зависимости от тока разряда (на вставке показан характерный профиль светового пучка).

Учеными Института автоматики и электрометрии разработан, изготовлен и запущен в Институте Макса Планка космической физики (г. Гархинг, Германия) источник накачки для "искусственной звезды" в системе обратной связи адаптивной оптики телескопа. Этот источник позволит увеличить до 10 Вт выходную мощность одночастотного излучения на желтой линии 589,2 нм (вместо функционирующего в настоящее время источника мощностью 2-3 Вт). Созданный лазер накачки обеспечивает высокую угловую стабильность и качество пучка за счет активной автоподстройки диаграммы направленности при уровне мощности до 70 Вт, что почти в 3 раза превышает уровень зарубежных аналогов (рис. 1.14).

В Институте физики полупроводников создан лазерный комплекс по получению изотопически чистого цинка (Zn⁶⁶). Впервые для выделения весового количества изотопа применен метод двухфотонного поглощения совместно с фотохимической реакцией, позволяющий с высокой степенью селективности нарабатывать требуемый изотоп. Определены критерии и факторы, обеспечивающие необходимую степень изотопической селективности процесса, а также спектр условий возбуждения и набор химических реагентов, оптимальных для данного метода и материала. Примененная методика использована для пробных экспериментов по выделению изотопического кремния (рис. 1.15).

Учеными КТИ прикладной микроэлектроники выполнен анализ принципов создания и разработана концепция построения оптико-электронных модулей двуспектральных обзорно-наблюдательных систем, обеспечивающих наблюдение за ландшафтом и выделение движущихся объектов в любое время суток и в сложных погодных условиях. В 2000 г. выполнен эскизный проект и изготовлены два варианта макетных образцов системы, состоящей из низкоуровневого телевизионного канала (спектральный диапазон 0,7-0,9 мкм), матричного тепловизионного канала (спектральный диапазон 3,0-5,0 мкм), модулей электронной обработки, визирования и питания. Совмещение изображений осуществлено в оптическом блоке системы. Реализованы высокое качество изображения и предельно низкие массогабаритные характеристики (рис. 1.16).

В Институте автоматики и электрометрии разработан скоростной высокоточный лазерный фотопостроитель с многоканальной модуляцией пучка при помощи кристаллов парателлурита. Фотопостроитель имеет поле записи 520ґ640 мм при шаге дискретизации 5 мкм и воспроизводимости 2,5 мкм по всему полю; время вывода – 6 мин на формат. Эти характеристики достигнуты благодаря применению высокоточных цифровых методов коррекции интермодуляционных искажений при широкополосной многочастотной модуляции в анизотропных кристаллах парателлурита (искажения менее 1 % в полосе 32 МГц при 16 каналах модуляции), прецизионных механизмов фокусировки и сканирования лазерного пучка с оптико-электронным высокоразрешающим контролем координат обеспечивающих более 2ґ10¹² позиций на кадр (рис. 1.17).

Учеными КТИ научного приборостроения разработана быстродействующая бесконтактная оптико-электронная система "Радар", предназначенная для измерения профиля поверхности изделия и его дефектов в цеховых условиях. Система обеспечивает измерение профиля участка поверхности 2,3ґ2,3 мм с глубиной профиля до 10 мм с погрешностью не более 2 мкм. Время измерения дефекта глубиной 50 мкм – не более 15 с. Результаты измерения представляются в виде трехмерной модели и записываются в базу данных для дальнейшего детального анализа (рис.1.18). Созданная система прошла испытания в технологической линии производства ТВЭЛов машиностроительного завода г. Электросталь (Минатом РФ) и готовится к опытно-промышленной эксплуатации.

Рис. 1.18. Результат измерения профиля монеты, представленный в виде трехмерной модели. Показан также профиль построенной модели в выбранном сечении.		Рис. 1.19. Микроденситометр Асфорт-3.

Учеными СКТБ "Наука" разработана новая модель микраденантометра "АСФОТ-3", производящего оцифровку спектрограмм в автоматизированном режиме с шагом сканирования 2 мкм и автоматизированную дешифровку спектральных линий с расчетом резудьтатов анализа (рис. 1.19).

В оглавление

Далее