Глава 2. Краевая задача

Назад § 2.5. Сходимость проекционных методов для линейных уравнений Вперед

У разума есть различные ступени и составные части, у вкуса — тоже. На мой взгляд, он может достигать той же широты, что разумение, но трудно допустить, что он способен перешагнуть этот предел.

Люк де Клапье де Вовенарг. Введение в познание человеческого разума

В этом параграфе доказывается одна из общих теорем о сходимости проекционных методов и описывается ее применению к исследованию сходимости метода коллокации.

2.5.1. Постановка задачи.

Общая схема наших рассуждений такова. Мы будем рассматривать проекционные методы решений задачи о неподвижной точке вида
x=Lx + a;(1)

в этой задаче L — линейный ограниченный (т. е. непрерывный) оператор в некотором банаховом пространстве E, а a фиксированная точка из E. К виду (1) могут быть приведены многие краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предположим, что в E определена последовательность {En} подпространств, и, кроме того, для каждого n определен проектор Pn пространства E на подпространство En. Напомним, что отображение P: E ® E называется проектором E на подпространство E0, если P(E) = E0 и сужение P на E0 является тождественным: Px = x при всех x О E0 (эквивалентное определение: P(E) = E0 и P2 = P). В дальнейшем обозначение Qn мы закрепляем за отображением IPn.

Задача 2.5.1. Докажите, что Qn также является проектором.

Задача 2.5.2. Покажите, что норма любого проектора не меньше единицы.

Общий проекционный метод состоит в приближении решения x* уравнения (1) решениями "более простых" уравнений
Pn(xLxa) = 0;(2)

в этих уравнениях неизвестная точка x ищется в подпространстве En. Заметим теперь, что уравнение (2) эквивалентно уравнению
x = PnLx + Pna(3)

в E. В самом деле, x = Pnx при x О En; поэтому, если x решение (3), то x = Pn(Lx + a) О En, и, следовательно, Pnx = x = PnLx + Pna, т. е. x решение (2). Импликация (3) Ю (2) очевидна. Проекционными приближениями решения уравнения (1) называются решения (обозначим их через xn) уравнения (3). Основной вопрос, который нас будет интересовать в этом параграфе — когда проекционные приближения существуют и при каких условиях они сходятся к решению x* уравнения (1)?

Нам потребуется следующее тривиальное обобщение известной теоремы Неймана об обратимости оператора IL в случае, когда ||L|| < 1.

2.5.2. Лемма.

Пусть M и N — линейные ограниченные операторы, действующие в банаховом пространстве E. Пусть оператор M обратим и ||N||·||M||–1 < 1. Тогда оператор M + N также обратим, причем,


||(MN)–1|| Ј 

||M–1||
1 – ||M–1||·||N||
.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Докажем сначала упомянутую теорему Неймана о представлении (IL)–1 в виде еҐi=0Li. Действительно, поскольку ||L|| < 1, ряд еҐi=0Liсходится по норме. Результат применения к нему оператора IL (как слева, так и справа) есть тождественное отображение:

(IL)Ґ
е
i = 0

Li = 

Ґ
е
i = 0

Li 

Ґ
е
i = 0

Li+1 = I, 

что и требовалось.

Лемма доказывается применением доказанного утверждения к к отображению MN = M(IM–1N):

(MN)–1 = (IM–1N)–1M–1 = 

ж
и
Ґ
е
i = 0

 (M–1N)i

ц
ш

M–1. 

(4)

Применять теорему Неймана можно, поскольку, в силу условий леммы ||M–1N|| Ј ||N||·||M||–1 < 1. Оценка ||(MN)–1|| тривиальна:


||(MN)–1|| = 

кк
кк
Ґ
е
i = 0

 (M–1N)i

кк
кк

· ||M–1|| Ј 

ж
и
Ґ
е
i = 0

 ||M–1N)i||

ц
ш

·||M–1|| Ј 

1
1 – ||M–1N||

·||M–1|| Ј 

||M–1||
1 – ||M–1||·||N||
,

что и требовалось.

Основная (и единственная) теорема, которую мы докажем, представляет собой простейший вариант общих теорем о сходимости проекционных методов.

2.5.3. Теорема.

Пусть отображение I – L ограниченно обратимо ((IL)–1 существует и является ограниченным, т. е. непрерывным). Кроме того, пусть ||QnL|| ® 0 при n ® Ґ.

Тогда

1° при всех достаточно больших n уравнение (3) имеет единственное решение (обозначим его xn);

2° последовательность xn сходится к решению x* уравнения (1) в том и только том случае, если ||Qna|| ® 0 при n ® Ґ;

3° найдутся константы m, M > 0 такие, что
m||Qnx*|| Ј ||xnx*|| Ј M||Qnx*||; (5)

4° найдется такая константа C, что
||xnx*|| Ј C||Pn||·r(x*, En), (6)

где
 r(x, En) =def 
 inf 
yОEn
||xy||. 

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Мы начнем с доказательства утверждения 3°. Поскольку в силу условий ||QnL|| ® 0 при n ® Ґ и (IL)–1 ограничен, для некоторого q < 1, начиная с некоторого n0, выполнена оценка

||QnL||·||(IL)–1|| Ј q < 1.

Поэтому по лемме 2.5.2 с M = IL и N = – QnL оператор MN = I PnL обратим и

||(IPnL)–1|| Ј 

||(IL)–1||
1 – q
 = M.
(7)

Обратимость оператора IPnL в точности означает однозначную разрешимость уравнения (3) (этим, в частности, доказано утверждение 1°). Далее, т. к. x* — решение уравнения (1),
Pnx* = PnLx* + Pna. (8)

Точка же xn — решение уравнения (3):

xn = PnLxn + Pna.

Вычитая из второго равенства первое, после несложных преобразований получаем
(IPnL)(xnx*) = x* – Pnx* = Qnx*.(9)

Отсюда и из (7) вытекает правая часть неравенства (5):

||xnx*|| = ||(IPnL)–1Qnx*|| Ј ||(IPnL)–1||·||Qnx*|| = M·||Qnx*||.

Левое неравенство тривиально: поскольку IPnL = I – (IQn)L = IT + QnT и ||QnL|| ® 0, последовательность норм ||IPnL|| ограничена некоторой константой (обозначим ее 1/m). Но тогда из (9) следует неравенство

||Qnx*|| = ||(IPnL)(xnx*)|| Ј 1
m
||xnx*||, 

эквивалентное левой части неравенства (5).

Далее, в силу условий теоремы

||QnLx*|| Ј ||QnL||·||x*|| ® 0 при n ® Ґ.

Поэтому (см. (8)) ||Qnx*|| ® 0 тогда и только тогда, когда ||Qna|| ® 0. Утверждение 1° следует теперь из уже доказанного неравенства (5).

Докажем 4°. Для любых x О E и y О En, поскольку Qny = yPy = yy = 0, выполнено

||Qnx|| = ||QnxQny|| = ||Qn(xy)|| = ||(IPn)(xy)|| Ј (1 + ||Pn||)||xy||,

откуда (см. задачу 2.5.1)

 ||Qnx|| Ј (1 + ||Pn||)
inf
yОEn
||xy|| Ј 2||Pn||·r(x, En). 

Из последнего неравенства при x = x* и оценки (5) следует (6):

||xnx*|| Ј M·||Qnx*|| Ј 2M·||Pn||r(x, En) = C·||Pn||·r(x, En).

Теорема доказана.

2.5.4. О проверке условия условия ||QnL|| ® 0.

Основную трудность при использовании доказанной теоремы вызывает проверка указанного условия. Прежде чем сформулировать один полезный признак выполнения этого условия, опишем необходимые понятия. Последовательность {Ln} линейных операторов, действующих из банахова пространства E1 в банахово пространство E2 называется сильно сходящейся к оператору L, если Lnx ® Lx при n® Ґ для всех x О E1.

Легко показать, что если последовательность Ln ® L сильно, и, кроме того, ||Ln|| равномерно ограничены (||Ln|| Ј M), то Ln ® L равномерно на каждом компакте, т. е. Lnx ® Lx равномерно по x из компактного подмножества W О E1:

"(e > 0) $(N О N) "(n і N) "(x О W) [||LnxLx|| < e].
Действительно, в предположении противного найдутся такие e > 0 и относительно компактная последовательность {xn}, что ||LnxnLxn|| > e. Относительная компактность {xn} позволяет считать ее сходящейся к некоторому x0. Но тогда

e < ||LnxnLxn|| Ј ||LnxnLnx0|| + ||Lnx0Lx0|| Ј

||Ln||·||xnLnx0|| + ||Lnx0Lx0|| Ј M·||xnLnx0|| + ||Lnx0Lx0|| ® 0.

Противоречие.

Наконец, напомним, что отображение L: E1® E2 называется вполне непрерывным, если оно переводит любое ограниченное множество в относительно компактное (вполне ограниченное).

Сформулируем признак выполнения условия ||QnL|| ® 0 в виде леммы.

2.5.5. Лемма.

Пусть оператор L вполне непрерывен, а проекторы Pn равномерно ограничены Pn ® I сильно. Тогда ||QnL|| ® 0 при n ® Ґ.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Заметим, что Qn ® 0 при n ® Ґ сильно, поскольку Pn ® I сильно. Утверждение леммы вытекает теперь из вышеупомянутой равномерной сходимости на компактах сильно сходящейся последовательности операторов: если B единичный шар в E, то в силу полной непрерывности L множество L(B) относительно компактно, и поэтому Qn на нем равномерно сходится к нулю.

Задача 2.5.3. Восстановите детали доказательства.

2.5.6. Приложения к методу Галеркина для краевых задач.

Рассмотрим краевую задачу

xўўA(t)x = a(t),   t О [0, p], (10)

x(0) = 0,   x(p) = 0, (11)

в которой A и a — непрерывные на [0, p] функции, причем A(t) > 0 при всех t.

Сведем краевую задачу (10) – (11) к задаче о неподвижной точке вида (1). Для этого обозначим xўў через y. Очевидно x является решением краевой задачи

xўў = y,   t О [0, p],

x(0) = 0,   x(p) = 0.

Если G(t, s) — функция Грина этой краевой задачи, то

x(t) = тp

0
G(t, s)y(s) ds.
(12)

Из (10) и (10) – (12) вытекает, что

y(t) = A(t)тp

0
G(t, s)y(s) ds + a(t).
(13)

Задача 2.5.4. Докажите, что y является (непрерывным) решением (12) в том и только том случае, когда функция x, определяемая по y равенством (11) является решением краевой задачи (9) – (10).

Определим теперь на пространстве L2[0, p]1 отображение

(Ly)(t) = тp

0
A(t)G(t, s)y(s) ds.
(14)

Задача 2.5.5. Докажите, что L: L2[0, p] ® L2[0, p].

Рассмотрим в пространстве L2[0, p] уравнение

y = Ly + a.(15)

Задача 2.5.6. Докажите, что любое лежащее в L2[0, p] решение уравнения (12) непрерывно, и таким образом, уравнение (14) эквивалентно краевой задаче (9) – (10) в указанном в задаче 2.5.4 смысле.

Из курса функционального анализа известно, что набор функций

ei(t) = sin it

является базисом в пространстве L2[0, p], и таким образом любая функция из этого пространства может быть представлена в виде ряда

x(t) = Ґ
е
i = 1
xiei(t), 

где

xi = тp

0
x(s)ei(s) ds = тp

0
x(s)sin is ds

(ряд Фурье).

Обозначим через En линейную оболочку n первых векторов указанного базиса, а через Pn ортогональный проектор на En (напомним, что проектор P на E0 в гильбертовом пространстве называется ортогональным, если (xPx, y) = 0 при всех y О E0). Таким образом,

 Pnx = Pnж
и
Ґ
е
i = 1
 xiei(t)ц
ш
 =def 

n
е
i = 1
xiei(t). 

Уравнение (2), или, что то же, уравнение (3) в En теперь можно переписать следующим образом. Ищется функция y(t) = еni=1yiei(t),удовлетворяющая равенству

y = Pn(Ly + a).(16)

По определению Pn,

[Pn(Ly)](t) =  n
е
i = 1
(Ly)iei(t), 

где

(Ly)i = тp

0
(Ly)(s)ei(s) ds = тp

0
ж
и
тp

0
A(s)G(s, x)y(x) dxц
ш
ei(s) ds = 

тp

0
ж
и
тp

0
A(s)G(s, x)n
е
j = 1
yjei(x) dx ц
ш
ei(s) ds = 

n
е
j = 1
yj ж
и
тp

0
т p

0
A(s)G(s, x)ei(x)ei(s) dx dsц
ш
 = n
е
j = 1
yjaij, 

а

(Pna)(t) = n
е
i = 1
aiei(t), 

где

ai = тp

0
a(s)ei(s) ds. 

Подставляя в (10) – (16) вычисленные выражения и приравнивая коэффициенты при одинаковых векторах базиса, получим систему уравнений метода Галеркина

yi =  n
е
j = 1
yjaij+ai   i = 1, ..., n.
(17)

Задача 2.5.7. Какова связь между системой (17) и системой Галеркина в задаче 2.4.2?

2.5.7. Проверка выполнения условий теоремы 2.5.3.

Из курса дифференциальных уравнений (см. также задачу 2.3.1) известно, что если A(t) > 0, то задача (10) – (11) однозначно разрешима при любой функции a О C[0, p] и ее решение задается формулой

x(t) = тp

0
G(t, s)a(s) ds,
(18)

где G — соответствующая функция Грина. Известно также, что функция Грина непрерывно дифференцируема вне диагонали квадрата [0, p]×[0, p] и ее производная по t терпит на диагонали квадрата разрыв первого рода. Перечисленные свойства позволяют утверждать, что для любой функции a О L2[0, p] формула (18) определяет функцию x, которую можно трактовать как решение краевой задачи (10) – (11) в некотором ослабленном смысле. А именно, называть x решением уравнения (10), если xў абсолютно непрерывна и удовлетворяет этому уравнению почти всюду на [0, p]. Подчеркнем, что если a непрерывна, то решение x дважды непрерывно дифференцируемо, т. е. является обычным классическим решением.

Разрешимость краевой задачи (10) – (11) в описанном обобщенном смысле означает, как легко видеть, однозначную обратимость оператора IL в пространстве L2[0, p]. Действительно, если x решение задачи (10) – (11), то функция y = xўў есть (IL)–1a. Свойства функции Грина и представление


[(IL)–1a](t) = y(t) = 

ж
и
тp

0
G(t, s)a(s) dsц
ш
ўў

позволяют легко оценить ||(IL)–1a||L2[0, p] через ||a||L2[0, p].

Описанная оценка означает ограниченность оператора (IL)–1.

Задача 2.5.8. Выведите указанную оценку.

Остается заметить, что Pn ® I сильно в L2[0, p] в силу известного из функционального анализа утверждения о полноте системы {sin it}Ґi=1в L2[0, p]. Поэтому по лемме 2.5.5 ||QnL|| ® 0 при n ® Ґ. Таким образом все условия теоремы 2.5.3 выполнены. Поэтому, во-первых, система (17) при больших n однозначно разрешима. И, во-вторых, поскольку, в силу полноты базисной системы функций, ||Qna||L2[0, p] ® 0 при n ® Ґ, последовательность приближенных решений yn сходится в L2[0, p] к решению y* уравнения (15) (или, что то же, уравнения (13)). Но тогда функции

xn = тp

0
G(t, s)yn(s) ds, 

как легко видеть, сходятся к решению x* краевой задачи (10) – (11) в пространстве C[0, p].

Задача 2.5.9. Докажите.


1Напомним, что L2[0, p] — это банахово (и даже гильбертово) пространство классов эквивалентности измеримых суммируемых с квадратом функций на [0, p] с нормой ||x|| = (т 0p|x(s)|2ds)1/2.


File based on translation from TEX by TTH, version 3.05.
Created 31 May 2002, 11: 53.