§ 2.1. Простейшие краевые задачи

Из m-параметрического семейства решений уравнения (E) единственное решение можно выделять разными способами. Один из них (начальное условие (C)) мы изучали ранее. Если дополнительные условия задаются в разных точках, то такие задачи называют краевыми. В этом параграфе кратко напоминаются основные понятия теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.1.1. Постановка краевых задач.

В отличие от теории начальных задач, теория краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений существенно более сложна и менее завершена. В частности, например, достаточные условия существования и единственности решения краевых задач намного менее продвинуты и далеки от необходимых. Поэтому в данном курсе мы будем рассматривать только простейшую краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка вида

xўў = f(t, x, xў),   t О [0, T],

(E2)

x(0) = a,   x(T) = b,

(BC)

в которой f: [0, T]×R^m×R^m ® R^m; a, b О R^m, а также соответствующую линейную задачу

xўў + A(t)x + B(t)xў = c(t),   t О [0, T],

(LE)

x(0) = a,   x(T) = b,

(BC)

в которой A(t) и B(t) при каждом t О [0, T] линейные операторы на R^m (напомним, что мы отождествляем их с соответствующими m× m-матрицами), а c: [0, T] ® R^m.

2.1.2. Простейшие условия разрешимости краевой задачи (E2) – (BC).

Приведем в качестве примера одно утверждение о существовании решения указанной задачи. Пусть m = 1, а функция f непрерывна по t, удовлетворяет условию Липшица по второму и третьему аргументам и ограничена на всей области определения (т. е. |f(t, x, y,)| Ј M при некотором M и всех t, x, y О R^m). Тогда задача (E2) – (BC) имеет хотя бы одно решение.

Рис. 11.

Д о к а з а т е л ь с т в о  основывается на так называемом методе стрельбы. Наряду с задачей (E2) – (BC) рассмотрим задачу Коши для уравнения (E2) с начальными условиями

x(0) = a,   xў(0) = a,

(1)

где a — параметр. Если мы укажем такое значение параметра a, при котором решение j(t, a) задачи (E2) – (1) удовлетворяет условию j(T, a) = b, то это решение и будет искомым решением задачи (E2) – (BC). Сначала заметим, что в силу теоремы Коши — Пикара решение j(t, a) на отрезке [0, T] при любом a существует и единственно. Кроме того, по теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных функция a ® j(T, a) непрерывна. Поэтому, если мы покажем, что

j(T, a) ® ± Ґ при a ® ±Ґ,

(2)

то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции при некотором a будет выполняться нужное равенство j(T, a) = b (рис. 11). Другими словами, мы покажем, что можно "выстрелить" решением j из начальной точки под таким углом y = arctg a к горизонту, чтобы попасть в точку b. Остается доказать (2). Имеем

j(T, a) = j(0, a) +  т T 0 jў(s, a) ds =

= a +  т T 0 й л jў(0, a) +  т s 0 jўў(x, a)dx щ ы ds =

= a + aT +  т T 0 т s 0 f[x, j(x, a), jўў(x, a)] dx ds.

Учитывая, что |f(t, x, y)| Ј M и, следовательно,

к к т T 0 т s 0 f[x, j(x, a), jў(x, a)] dx ds к к  Ј T2M,

получаем (2).

Задача 2.1.1. Восстановите детали доказательства.

Задача 2.1.2. Приведите пример неразрешимой задачи вида (E2) – (BC)

2.1.3. Операторная форма записи задачи (E2) – (BC).

Так же, как и задача (E) – (C), краевая задача (E2) – (BC), как уже отмечалось, может быть записана в операторном виде

F(x) = 0,

(OE)

где F: C²([0, T], R^m) ® C([0, T], R^m)×R^m×R^m и задается формулой

F(x) = (xўў(·) - f [·, x(·), xў(·)], x(0) - a, x(T) - b).

2.1.4. О методах решения краевых задач.

Большинство используемых численных методов решения краевых задач может быть отнесено к одному из трех больших классов. Разумеется, границы между этими методами размыты, некоторые методы нельзя отнести ни к одному из этих классов, другие же могут быть отнесены одновременно к двум классам и т. д. Эти классы таковы.

а) Методы стрельбы. Они основываются в идейном плане на соображениях, описанных в п. 2.1.2.

б) Конечно-разностные методы, основывающиеся на построении разностных схем, аппроксимирующих решение исходной задачи.

в) Проекционные, или вариационные, методы, суть которых состоит в проектировании исходной задачи на конечномерное пространство функций.

Следующие три параграфа посвящены описанию этих трех классов.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 3.05.
Created 30 May 2002, 8: 12.