0.3.3. Изоморфизм T2(Rm) ~ L(Rm)

Универсальность тензора (11) в том, что, как оказывается, любой тензор второго ранга из T²(R^m) может быть представлен в таком виде. В самом деле, если зафиксировать второй аргумент x₂ в T, то отображение T₁: x₂ ® Tбx₁, x₂с будет тензором первого ранга. В силу изометрии (9) R^m* ~ R^m найдется вектор Tбx₂с = БбT₁с (для каждого x₂ О R^m он свой) такой, что

Tбx1, x2с = x1·Tбx2с

Линейность отображения x₂ ® Tбx₂с очевидна.

Отображение Б: T ® T из T²(R^m) в L(R^m) реализует изоморфизм T²(R^m) и L(R^m). Таким образом, тензоры второго ранга из T²(R^m) отождествляются с линейными отображениями из L(R^m). В силу этого можно говорить о норме тензора второго ранга, его инвариантах и  т. д. Более того, поскольку имеет место изоморфизм L(R^m) ~ M^m, имеет место и изоморфизм T²(R^m) ~ M^m. Поэтому можно говорить о матрице тензора и всех сопутствующих матрицам понятиях.

По существу, тензоры — это просто другая терминология для обозначения привычных и известных из линейной алгебры объектов — полилинейных функционалов. "Тензорная" терминология принята в механике сплошной среды. Она имеет некоторую специфику, которой мы в данном курсе не касаемся.

Кстати, наличие изоморфизма T²(R^m) ~ L(R^m) позволяет доказать обещанное утверждение о существовании сопряженного отображения. Для произвольного L О L(R^m) определим тензор T О T²(R^m) равенством Tбx₁, x₂с = x₁·Lбx₂с, затем определим тензор T* О T²(R^m) равенством T*бx₁, x₂с = Tбx₂, x₁с и, наконец, положим K = Б(T*). Утверждается, что K = L*. В самом деле,

x1·Kбx2с = T*бx1, x2с = Tбx2, x1с = x2·Lбx1с,

что совпадает с определением сопряженного оператора.